Dubbio su esercizio e elemento neutro

[veence01]

Ho questo esercizio da fare, per quanto riguarda commutativita' e associativita' tutto ok. Ma non capisco perche' mi chiede
di verificare che esistano INFINITI elementi neutri a destra e nessuno a sinistra.

A destra:
\(\displaystyle (a,b) \bullet (u,v) = (a,b) \)
\(\displaystyle (a,vb) = (a,b) \)
\(\displaystyle a = a \)
\(\displaystyle v = 1\)

In questo caso u puo' essere qualunque, con v=1.


A sinistra:
\(\displaystyle (u,v) \bullet (a,b) = (a,b) \)
\(\displaystyle (u,vb) = (a,b) \)
\(\displaystyle u = a \)
\(\displaystyle v = 1\)

Perche' in questo caso dovrebbero non esistere elementi neutri?

[veence01]

Altro piccolo aiuto con questo esercizio, esiste un modo veloce per farlo?

[Kashaman]

provo a risponderti.
Perché nel primo caso , da destra , la coppia $(u,1)$ è neutro di $(a,b)$ per ogni $u in QQ$ e per ogni $a,b in QQ$
infatti $ (a,b) *(u,1) = (a,b)$ . Quindi , qualunque sia $(a,b)$ , posso scegliere $(u,1)$ tra infiniti $u$, e si comporterà sempre da elemento neutro.
Mentre nel secondo, da sinistra, la coppia $(u,1)$ è neutro di $(a,b) $ se e solo se $u=a$. Quindi, in definitiviva, $(u,1)$ da sinistra non può essere considerato elemento neutro. Perché esiste solo una coppia $AA u$ tale che $(u,1)*(a,b)=(a,b)$ e cioè se $u=a$.

[Odexios]

"veence01":Altro piccolo aiuto con questo esercizio, esiste un modo veloce per farlo?

Sulla domanda del primo post ti hanno già risposto.

Per questo, pensa a quali sono i fattori di $4^27$ e chiediti quali di questi compaiano con esponente almeno uguale in $1203721^4$

[Kashaman]

un'idea

A meno di non sbagliarmi, la risposta è negativa. Il numero $1203721 = 37*32533$. Entrambi primi non multipli di 4. Quindi anche $1203721^4=37^4*32533^4$ non ha multipli comuni con quattro e con le potenze di quattro. di conseguenza, direi proprio che $4^27 $ non divide quel numero.

[Odexios]

"Kashaman":un'idea

A meno di non sbagliarmi, la risposta è negativa. Il numero $1203721 = 37*32533$. Entrambi primi non multipli di 4. Quindi anche $1203721^4=37^4*32533^4$ non ha multipli comuni con quattro e con le potenze di quattro. di conseguenza, direi proprio che $4^27 $ non divide quel numero.

In maniera più immediata, se $a = 4,\ b = 1203721$,

$a^27 | b^4 => a | b^4 => (AA x\ x|a => x|b^4) => 2|b^4 => 2|b\ \text{↯}$

[Gi81]

Ancora prima

Un numero pari non può dividere un numero dispari

[veence01]

Vi ringrazio tutti, avete chiarito i miei dubbi!