Dubbio su divisione tra polinomi
Salve a tutti
la scorsa lezione il prof di matematica discreta ci ha spiegati la divisione fra polinomi.
Abbiamo fatto un esercizio , molto semplice che io ho compreso.
Abbiamo inoltre calcolato il MCD tra i due polinomi , tramite algoritmo euclideo , anch'esso l'ho capito.
Volevo solo un chiarimento in merito al risultato finale.
Nell'esercizio che abbiamo fatto con il prof, il penultimo resto ( e quindi il massimo comun divisore) viene -53/27 , e ha detto che scrivere -53/27 o scrivere 1 è la stessa cosa. (ci troviamo nell'insieme Q)
Volevo capire proprio questo. Nel caso in cui ci troviamo nell'insieme Q , e il penultimo resto ci viene un numero , senza la x, significa che il MCD può anche essere 1??
Inoltre ho capito che se il MCD tra due polinomi è 1 , significa che i due polinomi sono coprimi tra loro , se viceversa non viene 1 e quindi 12x +3 per esempio , non sono coprimi fra loro.
Ma essere coprimi , significa che esiste l'invertibile? Cioè se il MC è 1 significa che esiste l'inverso tra i polinomi no?
Grazie a tutti
la scorsa lezione il prof di matematica discreta ci ha spiegati la divisione fra polinomi.
Abbiamo fatto un esercizio , molto semplice che io ho compreso.
Abbiamo inoltre calcolato il MCD tra i due polinomi , tramite algoritmo euclideo , anch'esso l'ho capito.
Volevo solo un chiarimento in merito al risultato finale.
Nell'esercizio che abbiamo fatto con il prof, il penultimo resto ( e quindi il massimo comun divisore) viene -53/27 , e ha detto che scrivere -53/27 o scrivere 1 è la stessa cosa. (ci troviamo nell'insieme Q)
Volevo capire proprio questo. Nel caso in cui ci troviamo nell'insieme Q , e il penultimo resto ci viene un numero , senza la x, significa che il MCD può anche essere 1??
Inoltre ho capito che se il MCD tra due polinomi è 1 , significa che i due polinomi sono coprimi tra loro , se viceversa non viene 1 e quindi 12x +3 per esempio , non sono coprimi fra loro.
Ma essere coprimi , significa che esiste l'invertibile? Cioè se il MC è 1 significa che esiste l'inverso tra i polinomi no?
Grazie a tutti
Risposte
Il massimo comun divisore è definito a meno di moltiplicare per elementi invertibili. Cioè in generale per scrivere il MCD bisogna decidere un modo canonico di scriverlo. In genere in un anello di polinomi si decide di scegliere il rappresentante monico. Se ti viene $-53/27$ come MCD il suo rappresentante monico è $1$ quindi (con questa scelta del rappresentante canonico) il MCD è $1$.
Che $P(X),Q(X)$ siano coprimi, per l'algoritmo di Euclide, significa che esistono polinomi $A(X),B(X)$ con $A(X)P(X)+B(X)Q(X) = 1$. Capisci che se trovi $f(X),g(X)$ con $f(X)P(X)+g(X)Q(X)=-53/27$ allora scegliendo $A(X)=(-27/53)f(X)$, $B(X)=(-27/53)Q(X)$ ottieni proprio $A(X)P(X)+B(X)Q(X)=1$.
Che $P(X),Q(X)$ siano coprimi, per l'algoritmo di Euclide, significa che esistono polinomi $A(X),B(X)$ con $A(X)P(X)+B(X)Q(X) = 1$. Capisci che se trovi $f(X),g(X)$ con $f(X)P(X)+g(X)Q(X)=-53/27$ allora scegliendo $A(X)=(-27/53)f(X)$, $B(X)=(-27/53)Q(X)$ ottieni proprio $A(X)P(X)+B(X)Q(X)=1$.
Quindi nel caso in cui il risultato del penultimo resto mi viene 4x +3, non è 1,quindi i due polinomi f(x) e g (x) non sono coprimi,giusto??
Giusto.
Potete chiudere grazie,
adesso ho un altro dubbio qui
http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=26&t=155164
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