Dubbio sottogruppi normali

[Plepp]

Salve. In un esercizio mi viene chiesto di determinare le classi di coniugio e tutti i sottogruppi normali del gruppo diedrale $D_6$; chiamo $sigma,\tau$ i generatori di periodo rispettivamente $6$ e $2$.

Comincio suddividendo gli elementi di $D_6$ per periodo:
- periodo $2$: elementi del tipo $\tau\sigma^i$ e $\sigma^3$
- periodo $3$: $\sigma^2,\sigma^4$
- periodo $6$: $\sigma,\sigma^5$
Le classi di coniugio sono contenute nei sottoinsiemi di elementi aventi lo stesso periodo. Faccio qualche considerazione:
- gli elementi del centro $Z(D_6)$ sono tutti e soli quelli aventi classe di coniugio ridotta al singolo elemento. Dunque $\{"id"\}$ e $\{sigma^3\}$ sono classi;
- $\{sigma^2,sigma^4\}$ è necessariamente una classe di coniugio per quanto detto (non può spezzarsi in due singoletti);
- $\{sigma,\sigma^5\}$ lo stesso
- rimangono gli elementi di periodo $2$. Facendo i conti trovo che $\{\tau,\tau\sigma^2,\tau\sigma^4\}$, $\{\tau,\tau\sigma^3,\tau\sigma^5\}$ sono due classi di coniugio.

A questo punto mi metto a caccia dei sottogruppi normali. Mi servo del fatto che $H$ è un sottogruppo normale se e solo se è unione di classi di coniugio e contiene la classe $\{"id"\}$.

DUBBIO. $\{"id",\tau\sigma,\tau\sigma^3, \tau\sigma^5\}$ e $\{"id",\tau,\tau\sigma^2, \tau\sigma^4\}$ contengono l'identità e sono unioni di classi di coniugio MA non sono sottogruppi normali (non sono manco sottogruppi! ). Dove sbaglio??? I conti sono facilissimi e comunque li ho ripetuti tre volte, incredulo...

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Non capisco il tuo dubbio: se una cosa non è un sottogruppo è ovvio che non è un sottogruppo normale

Quello che sai è che un sottogruppo (!) è normale se e solo se è unione di classi di coniugio.

[Plepp]

Grazie Martino, evidentemente avevo appuntato male questa cosa sul mio quaderno...
Alla prossima