Dubbio sottogruppi generatori
Scrivo perchè mi trovo un attimino in difficoltà con alcuni esercizi.
Ad esempio dato (Q, +) devo trovare il sottogruppo minimo contenente ${2/3,3/2}$ e dimostrare che esiste un numero razionale $m/n$ tale che H risulti essere il minimo sottogruppo contenente $m/n$
Ora dalla definizione ricordo che il sottogruppo che sto cercando è il sottogruppo generatore di ${2/3,3/2}$. Sebbene in caso di gruppi finiti mi aiuto con LaGrange, qui non saprei come procedere, ovviamente non voglio chiedervi la soluzione dell'esercizio, ma come si possano risolvere di solito questi quesiti.
Vi ringrazio!
Ad esempio dato (Q, +) devo trovare il sottogruppo minimo contenente ${2/3,3/2}$ e dimostrare che esiste un numero razionale $m/n$ tale che H risulti essere il minimo sottogruppo contenente $m/n$
Ora dalla definizione ricordo che il sottogruppo che sto cercando è il sottogruppo generatore di ${2/3,3/2}$. Sebbene in caso di gruppi finiti mi aiuto con LaGrange, qui non saprei come procedere, ovviamente non voglio chiedervi la soluzione dell'esercizio, ma come si possano risolvere di solito questi quesiti.
Vi ringrazio!
Risposte
Prova a pensare alla definizione. Stai cercando un elemento \(\displaystyle \frac{m}{n} \) di \(\displaystyle \mathbb{Q} \) tale che \(\displaystyle \frac23 = a\frac{m}{n} \) e \(\displaystyle \frac32 = b\frac{m}{n} \) per qualche \(\displaystyle a, b\in \mathbb{Z} \).
Inoltre deve valere \(\displaystyle r\frac{m}{n} = s\frac23 + t\frac32 \) per ogni \(\displaystyle r\in \mathbb{Z} \).
Prova a vedere che ti esce fuori e usa Bezout.
Inoltre deve valere \(\displaystyle r\frac{m}{n} = s\frac23 + t\frac32 \) per ogni \(\displaystyle r\in \mathbb{Z} \).
Prova a vedere che ti esce fuori e usa Bezout.
Grazie mille!
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