Dubbio quoziente

[kekkomengoli95]

Salve, studiando algebra mi sono imbattuto in questo quoziente $(HN)/N$ e sempre negli appunti, nella parte relativa al sottogruppo di Frattini, per una dimostrazione si sfrutta il fatto che se \( N \unlhd G \) allora $ \frac{\Phi(G)N}{N} \leq \Phi(\frac{G}{N})$. Qualcuno potrebbe spiegarmi come funzionano questi quozienti? Se nel primo caso al posto di $HN$ avessi il prodotto diretto dei due avrei capito poichè il quoziente in pratica sarebbe un sottoinsieme isomorfo a $H$, ma in generale col prodotto ingenuo non mi è chiaro, grazie in anticipo.

[Studente Anonimo]

Ciao, benvenuto nel forum.

Dato un sottogruppo normale $N$ di un gruppo $G$ e un sottogruppo $H$ di $G$ (in generale non normale) l'insieme $HN$ definito come

$HN=\{hn\ :\ h in H,\ n in N\}$

è un sottogruppo di $G$ (questo è un fatto non banale che si dimostra) e quindi $HN//N$ è un sottogruppo di $G//N$. Puoi ricordare il teorema di isomorfismo che dice che $HN//N$ è isomorfo a $H//H nn N$. Per dimostrare l'inclusione di cui parli basta ricordare che c'è una biiezione canonica tra l'insieme dei sottogruppi massimali di $G//N$ e l'insieme dei sottogruppi massimali di $G$ che contengono $N$.

[kekkomengoli95]

Grazie della risposta, comunque il mio dubbio è più su come è costruito il quoziente, quei due quozienti che ho scritto erano da esempio a quanto ho chiesto. Spiego meglio: se considero il prodotto diretto tra $H$ e $N$ per esempio, allora il quoziente $(HxN)/N$ so che porta ogni elemento del tipo$ (h,n) $ in $ (h,1_N)$ pertanto $(HxN)/N$ sarà isomorfo a $N_1={(n,1)|n in N}$ ovvero isomorfo a $N$, ma nel caso del prodotto ingenuo $HN$, ogni elemento è del tipo $hn,h in H,n in N$ quindi in $(HN)/N$ ogni elemento viene portato nell'elemento neutro e il quoziente coincide con il sottogruppo banale? Questo non sto capendo. Grazie ancora e perdona la mia ignoranza sull'argomento.

[Studente Anonimo]

Giusto, $H xx N//N$ è isomorfo a $H$. Ma in generale $HN//N$ non è isomorfo a $H$, è isomorfo a $H//H nn N$. In tutta generalità non si riesce a dire di più di questo. Un elemento di $HN//N$ ha la forma $hN$ con $h in H$ (classe laterale).

[kekkomengoli95]

Ma un elemento del tipo hN non fa parte già dell'insieme H/N? A questo punto quale sarebbe la differenza tra H/N e HN/N?

[Studente Anonimo]

La scrittura $H//N$ ha senso solo se $H$ contiene $N$, e in questo caso $HN=H$ e quindi $HN//N=H//N$.

Ma se $H$ non contiene $N$ scrivere $H//N$ non ha senso.

[kekkomengoli95]

Scusa per il ritardo ma ti ringrazio, mi stavo perdendo in un bicchiere d'acqua.