Dubbio postulato di Bertrand
Ho un dubbio sul possibile utilizzo del postulato di Bertrand , dimostrato Chebyshev , che afferma
che per ogni intero $n > 3$ esiste almeno un numero primo $p$ tale che $n < p < 2n − 2$.
Ecco i mie dubbi :
1) se avessi da esempio $10,5$ posso dire che per il postulato di Bertrand ho un primo tra $10,5$ ed il suo doppio meno $2$
ovvero che ho $10.5 < p < 21 − 2$
2)allo stesso modo , applicando il teorema alla rovescia , se avessi $21$ , posso dire che ho un primo tra $21-2$ e $21/2$ ,
ossia che ho $21> p > 10,5$
che per ogni intero $n > 3$ esiste almeno un numero primo $p$ tale che $n < p < 2n − 2$.
Ecco i mie dubbi :
1) se avessi da esempio $10,5$ posso dire che per il postulato di Bertrand ho un primo tra $10,5$ ed il suo doppio meno $2$
ovvero che ho $10.5 < p < 21 − 2$
2)allo stesso modo , applicando il teorema alla rovescia , se avessi $21$ , posso dire che ho un primo tra $21-2$ e $21/2$ ,
ossia che ho $21> p > 10,5$
Risposte
In Bertrand si parla palesemente di interi, ma alla fine anche nella definizione della funzione $pi(x)$ si parlava di interi (poi estesa tranquillamente ai reali ponendo $\pi(x)=\pi([x])$ dove le quadre indicano la parte intera e $pi(x)=0$ per $x<2$).
Tuttavia non vedo "perché no" su un eventuale estensione: ovviamente non so se c'è già tale estensione e in questo caso rimando a chi ne sa più di me sull'esistenza di teoremi dimostrati in questo ambito.
Di mio posso aggiungere che se vale questo ragionamento (io credo di sì dato che l'ho scritto, ma non lo so se è proprio così), l'estensione del postulato di Bertrand ai reali sarebbe praticamente immediata dato che $2x-2>3/2 x$ per $x>4$...
Tuttavia non vedo "perché no" su un eventuale estensione: ovviamente non so se c'è già tale estensione e in questo caso rimando a chi ne sa più di me sull'esistenza di teoremi dimostrati in questo ambito.
Di mio posso aggiungere che se vale questo ragionamento (io credo di sì dato che l'ho scritto, ma non lo so se è proprio così), l'estensione del postulato di Bertrand ai reali sarebbe praticamente immediata dato che $2x-2>3/2 x$ per $x>4$...
Avrei deciso di applicarlo in modo inverso , ti faccio un esempio numerico.
Parto da $21$ e dico che c'è un primo tra $21$ e $21/2$ , però per evitare la parte reale posso sempre dire che
c'è un primo tra $21$ e $(21-1)/2$ , cosi elimino la parte reale dell'intervallo considerato.
In fondo se prendo in considerazione $10$ , si ha che c'è un primo tra $10
Altrimenti sostituisco Chebyshev con Erdős che dimostrò che esistono sempre due numeri primi $p$ e $q$
con $n < p, q < 2n$ per ogni $n > 6$ , applicando sempre il teorema in modo inverso.
Solo che nella dimostrazione di Paul , non capisco cosa vuol dire che uno è congruo ad 1 modulo 4,
e l'altro è congruo a −1 modulo 4 . Purtroppo non ci sono esempi numerici .
Son di corsa, ti rispondo sull'ultimo punto, un primo congruo a $1_4$ è 17, un primo congruo a $-1_4$ è 19, se pensi bene se togli uno o aggiungi uno, rispettivamente, ottieni un numero divisibile per 4 
Parli di 1 (o -1) modulo 4: si scrive $1 mod 4$.
Più in generale $x=z mod n$ indica il resto della divisione $x/n$.
Sappiamo infatti che $x=n*yz$, con $0<=z<4$ es: se n=4: $30=4*7+2$
Quindi nell'esempio io scriverei $30= 2 mod 4$ oppure $30= 2 mod 7$.
Nota che quando il resto della divisione $x:n$ è maggiore di $n/2$ spesso si usa scrivere $z=z-n$; mi spiego meglio con un esempio: se ho 17 e devo dire quanto vale modulo 6 faccio $17:6$ e viene $2$ resto $5$, quindi posso scrivere $17= 5 mod 6$, ma anche $17= (5-6) mod 6$ cioè $17= -1 mod 6$.
Tutti i numeri dispari sono nella forma $4k+1$ o $4k-1$.
Qui una semplice dimostrazione:
Dunque per la definizione che ho scritto sopra, sappiamo che tutti i dispari sono $1 mod 4$ o $-1 mod 4$.
Dato che tutti i primi sono dispari, significa che anche tutti i primi sono $1 mod 4$ o $-1 mod 4$
Dimmi se son stato chiaro... Ciao
Più in generale $x=z mod n$ indica il resto della divisione $x/n$.
Sappiamo infatti che $x=n*yz$, con $0<=z<4$ es: se n=4: $30=4*7+2$
Quindi nell'esempio io scriverei $30= 2 mod 4$ oppure $30= 2 mod 7$.
Nota che quando il resto della divisione $x:n$ è maggiore di $n/2$ spesso si usa scrivere $z=z-n$; mi spiego meglio con un esempio: se ho 17 e devo dire quanto vale modulo 6 faccio $17:6$ e viene $2$ resto $5$, quindi posso scrivere $17= 5 mod 6$, ma anche $17= (5-6) mod 6$ cioè $17= -1 mod 6$.
Tutti i numeri dispari sono nella forma $4k+1$ o $4k-1$.
Qui una semplice dimostrazione:
Dunque per la definizione che ho scritto sopra, sappiamo che tutti i dispari sono $1 mod 4$ o $-1 mod 4$.
Dato che tutti i primi sono dispari, significa che anche tutti i primi sono $1 mod 4$ o $-1 mod 4$
Dimmi se son stato chiaro... Ciao
"Maci86":
Son di corsa, ti rispondo sull'ultimo punto, un primo congruo a $1_4$ è 17, un primo congruo a $-1_4$ è 19, se pensi bene se togli uno o aggiungi uno, rispettivamente, ottieni un numero divisibile per 4
"kobeilprofeta":
Dimmi se son stato chiaro... Ciao
Royal grazieQuindi tutti i primi sono di questo tipo ,ovvero congruo ad 1 modulo 4 oppure congruo a −1 modulo 4 , giusto ?
[ot]Scusa se eventualmente ti risponderò con ritardo ma siamo in Veneto con il tablet (Mediacom
) quasi scarico. E' vero il detto che tanto vale quanto costa 
[/ot]
Te l'ho scritto esplicitamente:
"kobeilprofeta":
Dunque per la definizione che ho scritto sopra, sappiamo che tutti i dispari sono $1 mod 4$ o $-1 mod 4$.
Dato che tutti i primi sono dispari, significa che anche tutti i primi sono $1 mod 4$ o $-1 mod 4$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo