Dubbio polinomi irriducibili

[gennarosdc]

Il polinomio $ 3x^4-2x^3-6x^2+6x-20 in Q $ è irriducibile?
Utilizzando il criterio di Einstein come lo si può dimostrare?Il fatto che ci troviamo in Q mi pone dei dubbi
Grazie in anticipo

[Pappappero1]

Non e' irriducibile. Comincia a verificare se ha radici, cercandole tra i divisori del termine noto (sebbene non sia monico, e' comunque una buona strategia).

[gennarosdc]

L'esercizio mi diceva di scomporlo di fattori irriducibili ..mi scuso per la poca chiarezza.
A questo punto avendo trovato la radice=2 scompongo con Ruffini e mi trovo:
$ (x-2)(3x^3+4x^2+2x+10) $ ora..il primo polinomio è irriducibile poiché è di grado 1 ..ma il secondo?Qui posso applicare Einstein?

[dan952]

Il polinomio appartiene a $\mathbb{Q}[x]$ non a $QQ$, inoltre il criterio è di Eisenstein.
Detto questo, se un polinomio è irriducibile in $ZZ_{p}[x]$ con $p$ che non divide l'ultimo coefficiente (in questo caso 3) lo è anche in $QQ[x]$

[dan952]

Si al secondo puoi applicare Eisenstein in quanto 2 divide i coefficienti 10, 2 e 4 ma non 3 inoltre $2^2$ non divide il termine noto cioè 10 dunque le ipotesi del criterio sono soddisfatte

[gennarosdc]

ok mi trovo .. solo una cosa riguardante i domini.Siamo in Q[x] ,perché 2 non divide 3 ?
So che in Z[x] è sicuramente irriducibile..

[dan952]

Eisenstein si applica a polinomi in $ZZ[x]$ e se risulta essere irriducibile qui lo sarà anche in $QQ[x]$ per il lemma di Gauss

[gennarosdc]

ok ora tutto chiaro grazie mille