Dubbio omomorfismo
In una proposizione , sulla riduzione modulo p, che diede il professore all'epoca recita cosi :
Prop : Sia $f_n : ZZ[x] -> ZZ_n[X] $ un'applicazione definita ponendo $f_n(\sum_{n=0}^k\a_ix^i)=(\sum_{n=0}^k\[a_i]_nx^i)$
è un omomorfismo di anelli surgettivo.
Volendola dimostrare, la verifica che f è un omomorfismo è abbastanza immediata. Ma ciò che mi crea un po di dubbio è la parte riguardante l'ingettività e la surgettività.
Per la caratterizzazione dei monomorfismi di anelli ho che
f è ingettiva se e solo se Kerf è il sottoanello banale di $ZZ_n[x]$(in questo caso).
Dunque ho considerato a = $\sum_{n=0}^k\a_ix^i$ polinomio di $ZZ[x]$ ed ho posto
$a in Kerf $ $hArr$ $f_n(\sum_{n=0}^k\a_ix^i) = \sum_{n=0}^k\[0]_nx^i$ $rArr$ $\sum_{n=0}^k\[a_i]_nx^i = \sum_{n=0}^k\[0]_nx^i$ (allora poiché c'è una uguaglianza tra polinomi , per il principio di identità tra polinomi) ciò avviene $rArr$ $[a_i]_n =[0]_n ,ove i = 1 , 2 ...... k$ $rArr$ $a_i-=_n0$ e dunque $Kerf = { a in ZZ[x] | a_i = kn, k in ZZ} != { \sum_{n=0}^k\[0]_nx^i} $ pertanto f non è ingettiva.
Per la surgettività posso dire che $|Imf| = |ZZ_n[X]$ e che dunque imf è sottoanello totale di $ZZ_n[x]$ e quindi surgettiva?
e' giusta la mia dimostrazione, o notate qualche pecca?
Prop : Sia $f_n : ZZ[x] -> ZZ_n[X] $ un'applicazione definita ponendo $f_n(\sum_{n=0}^k\a_ix^i)=(\sum_{n=0}^k\[a_i]_nx^i)$
è un omomorfismo di anelli surgettivo.
Volendola dimostrare, la verifica che f è un omomorfismo è abbastanza immediata. Ma ciò che mi crea un po di dubbio è la parte riguardante l'ingettività e la surgettività.
Per la caratterizzazione dei monomorfismi di anelli ho che
f è ingettiva se e solo se Kerf è il sottoanello banale di $ZZ_n[x]$(in questo caso).
Dunque ho considerato a = $\sum_{n=0}^k\a_ix^i$ polinomio di $ZZ[x]$ ed ho posto
$a in Kerf $ $hArr$ $f_n(\sum_{n=0}^k\a_ix^i) = \sum_{n=0}^k\[0]_nx^i$ $rArr$ $\sum_{n=0}^k\[a_i]_nx^i = \sum_{n=0}^k\[0]_nx^i$ (allora poiché c'è una uguaglianza tra polinomi , per il principio di identità tra polinomi) ciò avviene $rArr$ $[a_i]_n =[0]_n ,ove i = 1 , 2 ...... k$ $rArr$ $a_i-=_n0$ e dunque $Kerf = { a in ZZ[x] | a_i = kn, k in ZZ} != { \sum_{n=0}^k\[0]_nx^i} $ pertanto f non è ingettiva.
Per la surgettività posso dire che $|Imf| = |ZZ_n[X]$ e che dunque imf è sottoanello totale di $ZZ_n[x]$ e quindi surgettiva?
e' giusta la mia dimostrazione, o notate qualche pecca?
Risposte
Prima di tutto, hai scritto $Ker(f)$ e $Im(f)$, mentre la cosa giusta da scrivere è $Ker(f_n)$ e $Im(f_n)$
Per la non iniettività, va bene. Ma potevi fare molto prima esibendo due polinomi a coefficienti interi distinti che hanno la stessa immagine: ad esempio i polinomi $x$ e $(n+1)x$ hanno entrambi immagine $[1]_n x$.
Per la suriettività, per quale motivo $|Im(f_n)|= |ZZ_n[x]|$?
Inoltre, anche qui, molto più semplicemente, non fai prima a considerare un generico $a(x) in ZZ_n[x]$ e trovare $alpha(x) in ZZ[x]$ tale che $f_n(alpha(x))= a(x)$? Non mi sembra così complicato.
Per la non iniettività, va bene. Ma potevi fare molto prima esibendo due polinomi a coefficienti interi distinti che hanno la stessa immagine: ad esempio i polinomi $x$ e $(n+1)x$ hanno entrambi immagine $[1]_n x$.
Per la suriettività, per quale motivo $|Im(f_n)|= |ZZ_n[x]|$?
Inoltre, anche qui, molto più semplicemente, non fai prima a considerare un generico $a(x) in ZZ_n[x]$ e trovare $alpha(x) in ZZ[x]$ tale che $f_n(alpha(x))= a(x)$? Non mi sembra così complicato.
Grazie frà. In effetti mi rendo conto di aver detto una corbelleria per quanto riguarda le cardinalità. Grazie per le dritte
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