Dubbio Massimo Comun Divisore polinomi.
Ho il seguente esercizio :
Siano $f(x) = x^6-1 in Z_7[x] $ ed $x^42+1 in Z_7[x]$
Mi chiede di trovare il loro massimo comune divisore.
Ho pensato ad Eulero-Fermat, ma sinceramente non ne vengo fuori, anche perché considerei i polinomi come funzioni polinomiali e non come polinomi.
Avete qualche idea ragazzi?
Siano $f(x) = x^6-1 in Z_7[x] $ ed $x^42+1 in Z_7[x]$
Mi chiede di trovare il loro massimo comune divisore.
Ho pensato ad Eulero-Fermat, ma sinceramente non ne vengo fuori, anche perché considerei i polinomi come funzioni polinomiali e non come polinomi.
Avete qualche idea ragazzi?
Risposte
Si può notare che, per il piccolo teorema di Fermat, \[x^6-1= (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6) \qquad \text{ in } \qquad \mathbb{Z}_7 [x]\]
E notare che $x^42+1 -= 2$ in $Z_7[x]$ (per fermat)
e che dunque g(x) non ha radici e quindi nessun polinomio di grado uno lo divide (per il Th di Ruffini). Giusto? e quindi non ha fattori irriducibili in comune con f(x) e dunque il $M.C.D (f(x),g(x)) = 1$ .
Giusto?
e che dunque g(x) non ha radici e quindi nessun polinomio di grado uno lo divide (per il Th di Ruffini). Giusto? e quindi non ha fattori irriducibili in comune con f(x) e dunque il $M.C.D (f(x),g(x)) = 1$ .
Giusto?
Si è già parlato di questo esercizio qui.
Nel tuo caso prima di pensare a Fermat o Eulero ti serve ricordare come è definito l'endomorfismo di Frobenius. Quello che puoi dire è che [tex]\mathbb{Z}_7[X] \ni X^{42}+1 = (X^6+1)^7[/tex].
"Kashaman":No, stai ancora confondendo funzioni polinomiali e polinomi. Un polinomio è una mera sequenza di coefficienti, non puoi trattare [tex]x[/tex] come se fosse un elemento del campo base. Ti rimando qui, pregandoti di leggere bene e con calma e di pensare a lungo. Non è una cosa che si capisce in cinque minuti
E notare che $x^42+1 -= 2$ in $Z_7[x]$ (per fermat)
Nel tuo caso prima di pensare a Fermat o Eulero ti serve ricordare come è definito l'endomorfismo di Frobenius. Quello che puoi dire è che [tex]\mathbb{Z}_7[X] \ni X^{42}+1 = (X^6+1)^7[/tex].
Martino, secondo me Kashaman intendeva dire che per ogni $a$ in $ZZ_7$ si ha $a^42 +1 !=0$,
dunque il polinomio $x^42 +1$ non ha radici in $ZZ_7[x]$.
Per questo si può concludere che il massimo comun divisore è $1$
dunque il polinomio $x^42 +1$ non ha radici in $ZZ_7[x]$.
Per questo si può concludere che il massimo comun divisore è $1$
Esatto, intendevo dire questo...
Intendevo che poiché per ogni a in $Z_7$ si ha che $x^42 +1$ non è congruo a 0. Allora non vi è nessun polinomio di grado uno che lo divide , perché g(x) non ha radici in $Z_7$.
e quindi non ha nessun divisore comune con $x^6-1$ . e pertanto il $M.C.D ( f(x),g(x)) = 1$ .
Intendevo che poiché per ogni a in $Z_7$ si ha che $x^42 +1$ non è congruo a 0. Allora non vi è nessun polinomio di grado uno che lo divide , perché g(x) non ha radici in $Z_7$.
e quindi non ha nessun divisore comune con $x^6-1$ . e pertanto il $M.C.D ( f(x),g(x)) = 1$ .
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo