Dubbio - $ker \phi$ sottoanello
Siano [tex]$R, R'$[/tex] due anelli e sia [tex]$\phi$[/tex] un omomorfismo di anelli. Sull'Artin è scritto che il nucleo di [tex]$\phi$[/tex] non è un sottoanello poiché [tex]$1_R \notin ker \phi$[/tex].
Logicamente questo vale se [tex]$R, R'$[/tex] sono anelli unitari. Se prendo [tex]$R, R'$[/tex] tali che [tex]$R, R'$[/tex] rispetto all'operazione di prodotto non siano monoidi, altresì semigruppi, il sottoinsieme [tex]$ker \phi \subseteq R$[/tex] è un sottoanello. Giusto?
Logicamente questo vale se [tex]$R, R'$[/tex] sono anelli unitari. Se prendo [tex]$R, R'$[/tex] tali che [tex]$R, R'$[/tex] rispetto all'operazione di prodotto non siano monoidi, altresì semigruppi, il sottoinsieme [tex]$ker \phi \subseteq R$[/tex] è un sottoanello. Giusto?
Risposte
Direi proprio di sì, a patto che la definizione di sottoanello sia compatibile con gli anelli non unitari. Io sono abituato a considerare anelli con unità, quindi per me un sottoanello canonico contiene sempre l'unità.
Praticamente per te un sottoanello di [tex](R,+,\cdot)[/tex] è un sottogruppo di [tex](R,+)[/tex] chiuso rispetto al prodotto [tex]\cdot[/tex]; con questa definizione il nucleo di un morfismo d'anelli (non unitari) è un sottoanello.
Praticamente per te un sottoanello di [tex](R,+,\cdot)[/tex] è un sottogruppo di [tex](R,+)[/tex] chiuso rispetto al prodotto [tex]\cdot[/tex]; con questa definizione il nucleo di un morfismo d'anelli (non unitari) è un sottoanello.
In ambiti come l'algebra commutativa si richiede esplicitamente nella definizione di sottoanello che l'unità dell'anello di partenza appartenga all'insieme candidato.
Ci sono anche esempi di "sottoanelli" con un'unità diversa da quella del sovra-anello.
Questa definizione, comoda per certi motivi, esclude, in particolare, che gli ideali siano sotto-anelli.
Ci sono anche esempi di "sottoanelli" con un'unità diversa da quella del sovra-anello.
Questa definizione, comoda per certi motivi, esclude, in particolare, che gli ideali siano sotto-anelli.
"Richard_Dedekind":
Direi proprio di sì, a patto che la definizione di sottoanello sia compatibile con gli anelli non unitari. Io sono abituato a considerare anelli con unità, quindi per me un sottoanello canonico contiene sempre l'unità.
Praticamente per te un sottoanello di [tex](R,+,\cdot)[/tex] è un sottogruppo di [tex](R,+)[/tex] chiuso rispetto al prodotto [tex]\cdot[/tex]; con questa definizione il nucleo di un morfismo d'anelli (non unitari) è un sottoanello.
Molto bene, era quello che volevo sapere. Nel caso particolare in cui [tex]$1_R \in ker \phi$[/tex], si deve avere per forza a che fare con un anello [tex]$R$[/tex] non unitario. Essendo il nucleo un ideale, vale la proprietà di assorbimento e questo implica che il nucleo è tutto l'anello [tex]$R$[/tex]. Giusto?
Grazie.
Be', se [tex]1_R\in \ker \phi[/tex], credo che [tex]\phi[/tex] sia l'omomorfismo nullo, tale che [tex]a\mapsto 0_{R^{\prime}}\,\,\,\forall a\in R[/tex]. Proprio per la proprietà d'assorbimento degli ideali.