Dubbio impostazione esercizio centro e centralizzante

[IngegnerCane1]

Ciao a tutti e buone vacanze pasquali,
Sto sbattendo la testa su un esercizio:
Sia A un gruppo, B $<=$ A e Z(A) il centro di A, C(B)={a$in$A / ab=ba $AA$ b$in$B} il centralizzante di B in A
mi chiede di dimostrare che B commutativo $iff$ B $sube$ C(B) e se è vero che B $sube$ C(B) $=>$ B è normale.

Ho tentato un timido approccio nel dimostrare che B $sube$ C(B) $=>$ B abeliano:
B $sube$ C(B) $=>$ C(B) $nn$ B = {b $in$ B / bx=xb $AA$ b$in$B} = B
quindi per come è definito il centro di B ho che B=Z(B)
ma questo è possibile se e solo se B è abeliano.
Per il resto vuoto totale.
Come devo continuare?
Grazie a tutti!

[Overflow94]

$C(B)$ sono gli elementi che commutano con gli elementi di $B$. Se $B$ è abeliano tutti gli elementi di $B$ commutano fra di loro quindi $B \sube C(B)$ viceversa se $B \sube C(B)$ significa che tutti gli elementi di $B$ commutano fra di loro e quindi $B$ è abeliano.

Non è vero che $B \sube C(B)$ implica $B$ normale, è sufficiente mostrare un controesempio e qui dipende dai gruppi che utilizzate per fare gli esempi:

- Nel gruppo diedrale, per $n=4$, $D_(2n)=$ si ha $ \sube C()$ ma $rsr^-1=r^2s \notin $

- Nel gruppo simmetrico $S_3$, si ha $<(1,2)> \sube C(<(1,2)>)$ ma $(2, 3)(1,2)(2,3)^-1=(2, 3)(1,2)(2,3)=(1,2,3)(2,3)=(1,3)(2,3) \notin <(1,2)>$ (se non ho sbagliato i conti).

Questi esempi sono stati costruiti utilizzando il fatto che le potenze di un elemento commutano fra loro e quindi $$ è sempre abeliano.

[IngegnerCane1]

Ti ringrazio infinitamente. Purtroppo non mi viene spontaneo utilizzare i controesempi quando invece sono dei salvavita. Grazie ancora