Dubbio gruppo invertibile :?

[Jack Durden]

Nel gruppo $G = (U_21, *)$ si consideri il sottogruppo minimo S contenente l'elemento $bar4$; si consideri la partizione in classi laterali destre di S in G e si verifichi che essa coincide con la partizione in classi laterali sinistre.

Allora innanzitutto tramite Eulero so che questo gruppo ha 12 elementi e più precisamente $U_21 = {bar1, bar2, bar4, bar5, bar8, bar10, bar11, bar13, bar16, bar17, bar19, bar20}$. Ora devo trovare il minimo sottogruppo contenente $bar4$. Ora quello che mi verrebbe da fare è usare Lagrange per trovare l'ordine dei possibili sottogruppi (esempio: se ho $ZZ_6$ so che questo gruppo potrà avere solo due sottogruppi uno di 3 l'altro di 2 elementi) in tal caso 21 = 3 * 7, quindi avrò solo due sottogruppi una da 3 l'altro da 7 elementi. Ma la cosa non mi convince ... per ora mi fermo qua non vado avanti ... dov'è che sbaglio?

Ciao.

[_luca.barletta]

G ha ordine $Phi(21)=12$; un sottogruppo di G ha ordine tale che divide l'ordine di G, quindi...

[Jack Durden]

E infatti proprio questo pensavo ... quindi dato che 12 = 2 * 2 * 3 avrò tre sottogruppi due da 2 e uno da 3. It's Ok?

EDIT

ma quindi il minimo sottogruppo contenete $bar4$ deve essere ${bar1, bar4}$

[miuemia]

ma ${1,4}$ non è sottogruppo....fai attenzione

[Jack Durden]

Scusami allora ... se abbiamo detto che devo avere 3 sottogruppi due da 2 elementi e uno da 3 elementi. Devo trovare il sottogruppo minimo contenente l'elemento 4. Ora il sottogruppo minimo è minimo per il numero di elementi? (io l'ho interpretato così) Se è così ha 2 elementi. Quindi conterrà sia $bar1$ sia $bar4$ come da richiesta. Sono confuso ...

[miuemia]

si però continuo a dirti che non è un sottogruppo in quanto non è chiuso rispetto alla moltiplicazione.

[TomSawyer1]

$U_21$ ha due sottogruppi di ordine 2, ma e' chiaro che non possono contenere $4$. Quindi si vede che il sottogruppo cercato e' ${bar1,bar4,bar16}$.

[Jack Durden]

mi domando se si possono sbagliare certe cose ... (evidentemente si, io lo faccio). Grazie a tutti ... miuemia perdonami se ti sembro "di coccio", in realtà lo sono!!

[Jack Durden]

Bene, ora devo vedere se le classi laterali destre coincidono con le classi laterali sinistre. Vediamo se ho capito. Io ho questo gruppo e questo sottogruppo:

$U_21$ = {bar1, bar2, bar4, bar5, bar8, bar10, bar11, bar13, bar16, bar17, bar19, bar20}$
$S = {bar1, bar4, bar16}$

Quello che mi chiedo è se io faccio $bar8 * S$ è logico che mi verrà uguale a $S * bar8$, cioè classe destra e sinistra devono essere per forza uguali.

Esempio:
$8 * S$ = {bar8, bar11, bar2}
$S * 8$ = {bar8, bar11, bar2}

[miuemia]

è vero se il sottogruppo è normale altrimenti non lo è!!!!!!!!

[Manugal]

Scusate so che non c'entra nulla, ma è per capire. Siccome $U_21$ ha 12 elementi e l'ordine di un sottogruppo deve essere un divisore dell'ordine, non avrebbe anche un sottogruppo di ordine 4 e uno di ordine 6? Perché non riesco a capire, quando si devono trovare tutti i sottogruppi di un gruppo, se devo considerare ad esempio 6 come un sottogruppo da 3 e uno da 2 oppure come un sottogruppo da 6 (o entrambe). Spero di essermi spiegato.

[gugo82]

"miuemia":è vero se il sottogruppo è normale altrimenti non lo è!!!!!!!!

Ma $U_(21)$ non è abeliano? Quindi tutti i suoi sottogruppi sono normali?
(Per me i "?" sono d'obbligo quando parlo di Algebra )

[miuemia]

si è abeliano....ma nn tutti i gruppi lo sono... in questo caso è ovvio che tutti i sottogrppi sono normali