Dubbio (forse troppo..) banale
Ciao a tutti!
nel corso di algebra1 abbiamo affrontato le estensioni del concetto di numero, partendo dagli insiemi, definendo i numeri naturali come classi di insiemi equipotenti, gli interi come coppie di naturali e così via...
A un certo punto mi sono trovato a dover dimostrare che la relazione d'ordine definita su $ZZ$ è un'estensione di quella definita su $NN$.
Il problema è: qual'è la relazione d'ordine definita su $NN$???
$a<=b<=>(EEc)(a+c=b)$ con $a,b,cinNN$
può essere questa?
nel corso di algebra1 abbiamo affrontato le estensioni del concetto di numero, partendo dagli insiemi, definendo i numeri naturali come classi di insiemi equipotenti, gli interi come coppie di naturali e così via...
A un certo punto mi sono trovato a dover dimostrare che la relazione d'ordine definita su $ZZ$ è un'estensione di quella definita su $NN$.
Il problema è: qual'è la relazione d'ordine definita su $NN$???
$a<=b<=>(EEc)(a+c=b)$ con $a,b,cinNN$
può essere questa?
Risposte
In genere se A e B sono due insiemi, la scrittura $card(A) le card(B)$ significa che esiste una funzione iniettiva $A to B$.
Questa posizione definisce una relazione d'ordine nell'insieme delle cardinalità finite (cioè $NN$). Cio' non è nemmeno banale: la proprietà di antisimmetria è esattamente quanto dice il teorema di Cantor-Schroeder-Bernstein.
Questa posizione definisce una relazione d'ordine nell'insieme delle cardinalità finite (cioè $NN$). Cio' non è nemmeno banale: la proprietà di antisimmetria è esattamente quanto dice il teorema di Cantor-Schroeder-Bernstein.
si, sulle cardinalità ok.
Io però ho bisogno di definire su $NN$ una relazione d'ordine considerando i suoi elementi come numeri, non più come classi di insiemi (quali pursempre rimangono).
Perchè altrimenti mi riesce molto faticoso rendere la relazione d'ordine definita su $ZZ$ come un'estensione di quella definita attraverso le cardinalità su $NN$.
grazie per la pazienza
Io però ho bisogno di definire su $NN$ una relazione d'ordine considerando i suoi elementi come numeri, non più come classi di insiemi (quali pursempre rimangono).
Perchè altrimenti mi riesce molto faticoso rendere la relazione d'ordine definita su $ZZ$ come un'estensione di quella definita attraverso le cardinalità su $NN$.
grazie per la pazienza
Tu vuoi mostrare che la relazione d'ordine su $NN$ è quella indotta da quella su $ZZ$. Ma qual è quella su $ZZ$? (se parli di relazione d'ordine su $ZZ$ immagino tu la sappia definire).
si.
posto che $ZZ$ è definito come l'insieme $(NN*NN)/\sim$, cioè come il prodotto cartesiano $NN*NN$ quozientato rispetto alla relazione di equivalenza $\sim$ definita da $(a,b)\sim(c,d)<=>a+d=b+c$ con $a, b, c, d inNN$ (quindi gli interi sono definiti come classi di coppie equivalenti di naturali) e definite le operazioni di somma e prodotto, la relazione d'ordine la definiamo così:
$(a,b)<=(c,d)<=>a+d<=c+b$.
Ciò che devo dimostrare è che questa relazione d'ordine è un'estensione di quella definita sui naturali. Che però non capisco quale sia!!
Credi che basti far vedere che se prendo due naturali $m,n$ con $m<=n$, allora vale che anche per i corrispondenti interi $(m,0)<=(n,0)$??
posto che $ZZ$ è definito come l'insieme $(NN*NN)/\sim$, cioè come il prodotto cartesiano $NN*NN$ quozientato rispetto alla relazione di equivalenza $\sim$ definita da $(a,b)\sim(c,d)<=>a+d=b+c$ con $a, b, c, d inNN$ (quindi gli interi sono definiti come classi di coppie equivalenti di naturali) e definite le operazioni di somma e prodotto, la relazione d'ordine la definiamo così:
$(a,b)<=(c,d)<=>a+d<=c+b$.
Ciò che devo dimostrare è che questa relazione d'ordine è un'estensione di quella definita sui naturali. Che però non capisco quale sia!!
Credi che basti far vedere che se prendo due naturali $m,n$ con $m<=n$, allora vale che anche per i corrispondenti interi $(m,0)<=(n,0)$??
"mickey88":
la relazione d'ordine la definiamo così:
$(a,b)<=(c,d)<=>a+d<=c+b$.
Ciò che devo dimostrare è che questa relazione d'ordine è un'estensione di quella definita sui naturali. Che però non capisco quale sia!!
Credi che basti far vedere che se prendo due naturali $m,n$ con $m<=n$, allora vale che anche per i corrispondenti interi $(m,0)<=(n,0)$??
Ah-ha!
Il fatto è che nella definizione di relazione d'ordine sugli interi tu utilizzi quella sui naturali!
Ne segue che identificando (come si fa) i naturali con le coppie $(x,0)$, tu hai che $(a,0) le (c,0)$ se e solo se $a+0 le c+0$, ovvero $a le c$. Questo è esattamente quello che ti si richiede di mostrare.
"mickey88":
Il problema è: qual'è la relazione d'ordine definita su $NN$???
$a<=b<=>(EEc)(a+c=b)$ con $a,b,cinNN$
può essere questa?
Premsso che quello che sto per dire centra poco o niente col topic, premsso anche che al 90 % dirò na cavolata, volevo provare a rispondere a questa domanda, visto che il dimostrare che $<=$ su $ZZ$ è una estensione di $<=$ su $NN$ è stato fatto
A mio modestissimo avviso sì, almeno in un certo modo.
Se costruisci $NN$ con gli assiomi di Peano va bene: a tal proposito, trovo conforto nell'Acerbi-Buttazzo, ove, costruendo i naturali con la terna $(NN, 0, \sigma)$ e relativi assiomi, definisce la relazione $<=$ esattamente in questo modo.
Se invece costruisci ii naturali con le cardinalità, trovo più giusto definire $<=$ con l'esistenza dell'iniezione.
Benissimo!
Ora è tutto ok!
Grazie Martino, grazie WiZaRd!:)
Ora è tutto ok!
Grazie Martino, grazie WiZaRd!:)
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