Dubbio esercizio calcolo combinatorio
Ciao a tutti.
Ringrazio sin da ora chi avrà la pazienza e la voglia di risolvermi questo piccolo dubbio.
Ho dubbi relativi a questo esercizio:
In una corsa di cani si affrontano 8 cani C1, C2, . . . , C8. Gli esiti di questa corsa sono del tutto imprevedibili, nel senso che tutte le permutazioni degli 8 cani sono ugualmente probabili come ordine di arrivo. Scommetto sugli esiti di questa corsa; una volta conclusa, alcune informazioni su tali esiti mi sono comunicate tramite apposito sito web.
1) Scommetto 10 Euro su “cane C2 piazzato fra i primi 4”, e se vinco me ne danno 18 (cioe' mi restituiscono i 10 Euro che ho scommesso ed in piu' me danno altri 8). Mi conviene scommettere ? Giustificare la risposta.
2)commetto 10 Euro su “cane C2 arriva quinto”, e se vinco me ne danno 90 (cioe' mi restituiscono i 10 Euro che ho scommesso ed in piu' me danno altri 80). Mi conviene scommettere ? Giustificare la risposta.
So che chiede la probabilità e sarei dunque nella sezione sbagliata, ma in pratica il problema si riduce ad un calcolo combinatorio: infatti bisogna banalmente contare i casi favorevoli e dividerli per quelli possibili.
Allora, io farei in questo modo (ma non avendo la soluzione vorrei capire se il mio ragionamento è esatto).
Come detto i vari risultati sono tutti equiprobabili, quindi si tratta solamente di contarli. Essendo delle permutazioni senza ripetizione, saranno $n! = 8! =40320$. Quindi dobbiamo trovare i casi favorevoli, ed anche qui è questione di contarli. E qui scatta la mia domanda: è corretto, per contare i casi "C2 piazzato tra i primi 4", moltiplicare la permutazione $7! =5040$ (ovvero gli altri cani si piazzano nelle altre sette posizioni) per 4 volte (ovvero le prime 4 posizioni); oppure utilizzare le disposizioni senza ripetizione, con $n=8, k=7$ e quindi fare $(n!)/(n-k!)$ sempre moltiplicandolo per 4?
Per il secondo quesito applico lo stesso identico ragionamento, solo prendendo una singola permutazione di 7 elementi senza moltiplicarli per 4, in quanto a me interessano solo i casi in cui il secondo cane arriva quinto.
Ringrazio sin da ora chi avrà la pazienza e la voglia di risolvermi questo piccolo dubbio.
Ho dubbi relativi a questo esercizio:
In una corsa di cani si affrontano 8 cani C1, C2, . . . , C8. Gli esiti di questa corsa sono del tutto imprevedibili, nel senso che tutte le permutazioni degli 8 cani sono ugualmente probabili come ordine di arrivo. Scommetto sugli esiti di questa corsa; una volta conclusa, alcune informazioni su tali esiti mi sono comunicate tramite apposito sito web.
1) Scommetto 10 Euro su “cane C2 piazzato fra i primi 4”, e se vinco me ne danno 18 (cioe' mi restituiscono i 10 Euro che ho scommesso ed in piu' me danno altri 8). Mi conviene scommettere ? Giustificare la risposta.
2)commetto 10 Euro su “cane C2 arriva quinto”, e se vinco me ne danno 90 (cioe' mi restituiscono i 10 Euro che ho scommesso ed in piu' me danno altri 80). Mi conviene scommettere ? Giustificare la risposta.
So che chiede la probabilità e sarei dunque nella sezione sbagliata, ma in pratica il problema si riduce ad un calcolo combinatorio: infatti bisogna banalmente contare i casi favorevoli e dividerli per quelli possibili.
Allora, io farei in questo modo (ma non avendo la soluzione vorrei capire se il mio ragionamento è esatto).
Come detto i vari risultati sono tutti equiprobabili, quindi si tratta solamente di contarli. Essendo delle permutazioni senza ripetizione, saranno $n! = 8! =40320$. Quindi dobbiamo trovare i casi favorevoli, ed anche qui è questione di contarli. E qui scatta la mia domanda: è corretto, per contare i casi "C2 piazzato tra i primi 4", moltiplicare la permutazione $7! =5040$ (ovvero gli altri cani si piazzano nelle altre sette posizioni) per 4 volte (ovvero le prime 4 posizioni); oppure utilizzare le disposizioni senza ripetizione, con $n=8, k=7$ e quindi fare $(n!)/(n-k!)$ sempre moltiplicandolo per 4?
Per il secondo quesito applico lo stesso identico ragionamento, solo prendendo una singola permutazione di 7 elementi senza moltiplicarli per 4, in quanto a me interessano solo i casi in cui il secondo cane arriva quinto.
Risposte
Se tutte le possibiltà sono equiprobabili, il problema è davvero banale...
1) La probabilità che il cane C2 arrivi tra i primi 4 è $4/8=1/2$;
2) La probabilità che il cene C2 arrivi quinto è $1/8$.
Spero sia superfluo spiegarti il perchè....
1) La probabilità che il cane C2 arrivi tra i primi 4 è $4/8=1/2$;
2) La probabilità che il cene C2 arrivi quinto è $1/8$.
Spero sia superfluo spiegarti il perchè....
Si si, sono d'accordo con te che il risultato in sé sia del tutto banale.
Ma più che il risultato, mi interessava capire se il ragionamento che porta ad esso debba essere fatto numericamente con le disposizioni o con le permutazioni.
EDIT: effettivamente sono un bigolo perché sapendo i risultati, basta fare dei semplici tentativi per capire qual'è la strada "numerica" da percorrere.
Ma più che il risultato, mi interessava capire se il ragionamento che porta ad esso debba essere fatto numericamente con le disposizioni o con le permutazioni.
EDIT: effettivamente sono un bigolo perché sapendo i risultati, basta fare dei semplici tentativi per capire qual'è la strada "numerica" da percorrere.
Non riesco a comprendere perchè bisogna complicarsi la vita..........
Se ho un'urna con sette palline bianche ed una nera, qual è la probabilità che estraendone 4 (senza reimmissione), trovi quella nera? $4/8$. E qui è lo stesso.
Qual è la probabilità che la pallina nera venga estratta al quinto tentativo? $1/8$. E qui è lo stesso.
Pertanto nel primo caso la scommessa non ti conviene. Dovrebbero darti 20 euro, affinchè fosse equa.
Nel secondo caso invece ti conviene, l'equità si trova a 80.
Se ho un'urna con sette palline bianche ed una nera, qual è la probabilità che estraendone 4 (senza reimmissione), trovi quella nera? $4/8$. E qui è lo stesso.
Qual è la probabilità che la pallina nera venga estratta al quinto tentativo? $1/8$. E qui è lo stesso.
Pertanto nel primo caso la scommessa non ti conviene. Dovrebbero darti 20 euro, affinchè fosse equa.
Nel secondo caso invece ti conviene, l'equità si trova a 80.
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