Dubbio esercizi su permutazioni
Salve a tutti,
Sto svolgendo il seguente esercizio :
7. (a) Verificare se $\sigma \in S_n$ e` una permutazione di classe dispari, non
esiste alcuna permutazione $\alpha \in S_n$ tale che $\alpha^2 = \sigma$.
(b) Determinare $\alpha \in S_6$ tale che$\alpha^2 = (123)(456)$.
(c) Spiegare perché non esiste $\alpha \in S_6$ tale che $\alpha^2 = (12)(3456)$.
Per il punto a) Il mio ragionamento è stato: se faccio $\alpha^2$ e $\alpha$ è pari, avrò una somma di trasposizioni pari, se $\alpha$ la stessa cosa dato che dispari+dispari=pari. Questo ragionamento porta poi al supporre che il numero di trasposizioni di un qualsiasi $\alpha^2$ deve essere pari. Non so per quale motivo, ma mi sento molto insicuro su tale ragionamento :\
Il punto b invece mi da difficoltà, ho provato "a tentativi" e sono arrivato ad una soluzione, ma vorrei capire qual'è il metodo corretto da seguire.
Il punto c proprio non so come uscirne, in generale quando è valido con $\alpha \in S_n$ che $X^2 = \alpha$ ?
Vi ringrazio in anticipo, anche solo per la pazienza!
Sto svolgendo il seguente esercizio :
7. (a) Verificare se $\sigma \in S_n$ e` una permutazione di classe dispari, non
esiste alcuna permutazione $\alpha \in S_n$ tale che $\alpha^2 = \sigma$.
(b) Determinare $\alpha \in S_6$ tale che$\alpha^2 = (123)(456)$.
(c) Spiegare perché non esiste $\alpha \in S_6$ tale che $\alpha^2 = (12)(3456)$.
Per il punto a) Il mio ragionamento è stato: se faccio $\alpha^2$ e $\alpha$ è pari, avrò una somma di trasposizioni pari, se $\alpha$ la stessa cosa dato che dispari+dispari=pari. Questo ragionamento porta poi al supporre che il numero di trasposizioni di un qualsiasi $\alpha^2$ deve essere pari. Non so per quale motivo, ma mi sento molto insicuro su tale ragionamento :\
Il punto b invece mi da difficoltà, ho provato "a tentativi" e sono arrivato ad una soluzione, ma vorrei capire qual'è il metodo corretto da seguire.
Il punto c proprio non so come uscirne, in generale quando è valido con $\alpha \in S_n$ che $X^2 = \alpha$ ?
Vi ringrazio in anticipo, anche solo per la pazienza!
Risposte
Secondo me...
(a) Si, se componi due permutazioni dispari o due pari, ti viene una permutazione pari.
(b) Per esempio $ (142536) $ Forse ti può essere utile questo topic (l'ultimo post)
(c) $ (\alpha)^2 $ ha periodo 4 allora $ \alpha $ dovrebbe avere periodo 8 , ma se siamo in $ S_6 $ ...
Ciao
(a) Si, se componi due permutazioni dispari o due pari, ti viene una permutazione pari.
(b) Per esempio $ (142536) $ Forse ti può essere utile questo topic (l'ultimo post)
(c) $ (\alpha)^2 $ ha periodo 4 allora $ \alpha $ dovrebbe avere periodo 8 , ma se siamo in $ S_6 $ ...
Ciao
Intanto ti ringrazio, ma perchè alfa deve essere d'ordine 4 ?
Scusa la domanda sciocca
Scusa la domanda sciocca
Perchè il periodo di una permutazione è uguale al massimo comune multiplo delle lunghezze dei suoi cicli disgiunti
$ (12)(3456) $ è prodotto di un ciclo di lunghezza 2 e uno di lunghezza 4, quindi $ mcm(2,4)=4 $
$ (12)(3456) $ è prodotto di un ciclo di lunghezza 2 e uno di lunghezza 4, quindi $ mcm(2,4)=4 $
x@cifa. Ti prego di vagliare attentamente la mia risposta , in quanto essendo un profano in materia potrei benissimo sbagliarmi,
inoltre conosco poco il gruppo $S_n$.
Per quanto riguarda il punto (b) , il fatto che la permutazione $alpha^2$ $=$ $(123)(456)$, sia composta da cicli disgiunti
di lunghezza $3$, non è casuale, infatti se consideriamo separatamente uno dei due cicli della permutazione suddetta,
ad esempio il ciclo $(123)$ esso come elemento del gruppo $S_6$ può generare le seguenti permutazioni:
$(123)^2=(132)$, ed $(123)^3=I_(S_6)$, trovandoci in un sottogruppo ciclico di ordine $3$, a sua volta risulterà necessariamente $(132)^2=(123)$. Analogamente se consideriamo il ciclo $(456)$, avremo $(456)^2=(465)$ ed $(465)^2=(456)$, quindi la permutazione cercata è la seguente:
$alpha$ $=$ $(132)(465)$, infatti $(132)(465)$ $*$ $(132)(465)$ $=$ $(123)(456)$.
Se consideriamo la permutazione $alpha^2$ $=$ $(12)(3456)$ questa è composta da due cicli disgiunti rispettivamente di lunghezza $2$ e lunghezza $4$; analogamente come al caso precedente consideriamo separatamente il ciclo $(12)$ esso come elemento di $S_6$ genera le seguenti permutazioni $(12)$, ed $(12)^2$ $=I_(S_6)$, cioè un sottogruppo ciclico di ordine $2$, pertanto non esiste nessun elemento il cui quadrato dà $(12)$, e già possiamo concludere che in questo caso non può esistere nessuna permutazione $alpha$ il cui quadrato $alpha^2$ $=$ $(12)(3456)$. Ugualmente se prendiamo in considerazione separatamente il ciclo $(3456)$, esso genera un sottogruppo ciclico di ordine $4$, cioè gli elementi $(3456)$
, $(3456)^2$, $(3456)^3$, $(3456)^4=I$, e come si può vedere non esiste nessun elemento di tale sottogruppo il cui quadrato dia il ciclo $(3456)$. Se consideriamo invece la permutazione $alpha^2=(23456)$ essendo costituita solamente da un ciclo di lunghezza $5$, dispari,é quindi di ordine dispari , posso asserire con certezza che esiste $alpha$,infatti risulta $alpha=(25364)$. Perchè? A mio modesto avviso il motivo è che se una permutazione risulta costituita da cicli disgiunti di lunghezza dispari é sempre possibile trovare $alpha$. Ciò è dovuto al fatto che se considero un gruppo ciclico $G=$ di ordine $n$ dispari , quindi $n$ della forma $n=2k+1$, basta considerare l'elemento $a^(k+1)$ , infatti $(a^(k+1))^2$ $=$ $a^((k+1)2)$ $=$ $a^(2k+1+1)=a^(n+1)=a$. Con qualche esempio dovrebbe apparire più chiaro, se considero la permutazione
$X=(12345)(678)$ avrò $alpha=(14253)(687)$, infatti $(14253)(687)*(14253)(687)=(14253)^2*(687)^2=(12345)(678)$,
se prendo invece la permutazione $X=(123456789)$ avrò $alpha=(162738495)$ infatti $(162738495)*(162738495)$ $=$
$(123456789)$, pertanto sembrerebbe essere giusto l'asserto.
Probabilmente se riuscissi a scrivere le permutazioni con notazione bidimensionale invece che ciclica risulterebbe più chiaro, solo che purtroppo non conosco il codice!
Spero di non aver detto delle eresie, visto che conosco poco l'argomento, e di esserti stato di aiuto!
inoltre conosco poco il gruppo $S_n$.
Per quanto riguarda il punto (b) , il fatto che la permutazione $alpha^2$ $=$ $(123)(456)$, sia composta da cicli disgiunti
di lunghezza $3$, non è casuale, infatti se consideriamo separatamente uno dei due cicli della permutazione suddetta,
ad esempio il ciclo $(123)$ esso come elemento del gruppo $S_6$ può generare le seguenti permutazioni:
$(123)^2=(132)$, ed $(123)^3=I_(S_6)$, trovandoci in un sottogruppo ciclico di ordine $3$, a sua volta risulterà necessariamente $(132)^2=(123)$. Analogamente se consideriamo il ciclo $(456)$, avremo $(456)^2=(465)$ ed $(465)^2=(456)$, quindi la permutazione cercata è la seguente:
$alpha$ $=$ $(132)(465)$, infatti $(132)(465)$ $*$ $(132)(465)$ $=$ $(123)(456)$.
Se consideriamo la permutazione $alpha^2$ $=$ $(12)(3456)$ questa è composta da due cicli disgiunti rispettivamente di lunghezza $2$ e lunghezza $4$; analogamente come al caso precedente consideriamo separatamente il ciclo $(12)$ esso come elemento di $S_6$ genera le seguenti permutazioni $(12)$, ed $(12)^2$ $=I_(S_6)$, cioè un sottogruppo ciclico di ordine $2$, pertanto non esiste nessun elemento il cui quadrato dà $(12)$, e già possiamo concludere che in questo caso non può esistere nessuna permutazione $alpha$ il cui quadrato $alpha^2$ $=$ $(12)(3456)$. Ugualmente se prendiamo in considerazione separatamente il ciclo $(3456)$, esso genera un sottogruppo ciclico di ordine $4$, cioè gli elementi $(3456)$
, $(3456)^2$, $(3456)^3$, $(3456)^4=I$, e come si può vedere non esiste nessun elemento di tale sottogruppo il cui quadrato dia il ciclo $(3456)$. Se consideriamo invece la permutazione $alpha^2=(23456)$ essendo costituita solamente da un ciclo di lunghezza $5$, dispari,é quindi di ordine dispari , posso asserire con certezza che esiste $alpha$,infatti risulta $alpha=(25364)$. Perchè? A mio modesto avviso il motivo è che se una permutazione risulta costituita da cicli disgiunti di lunghezza dispari é sempre possibile trovare $alpha$. Ciò è dovuto al fatto che se considero un gruppo ciclico $G=$ di ordine $n$ dispari , quindi $n$ della forma $n=2k+1$, basta considerare l'elemento $a^(k+1)$ , infatti $(a^(k+1))^2$ $=$ $a^((k+1)2)$ $=$ $a^(2k+1+1)=a^(n+1)=a$. Con qualche esempio dovrebbe apparire più chiaro, se considero la permutazione
$X=(12345)(678)$ avrò $alpha=(14253)(687)$, infatti $(14253)(687)*(14253)(687)=(14253)^2*(687)^2=(12345)(678)$,
se prendo invece la permutazione $X=(123456789)$ avrò $alpha=(162738495)$ infatti $(162738495)*(162738495)$ $=$
$(123456789)$, pertanto sembrerebbe essere giusto l'asserto.
Probabilmente se riuscissi a scrivere le permutazioni con notazione bidimensionale invece che ciclica risulterebbe più chiaro, solo che purtroppo non conosco il codice!
Spero di non aver detto delle eresie, visto che conosco poco l'argomento, e di esserti stato di aiuto!
Perdonami perplesso ho scritto male io, intendevo perchè alfa periodo 8 
francicko ti ringrazio molto!
francicko ti ringrazio molto!
$ 1 = (\alpha^2)^4 = \alpha^8 $
Mi associo, vale anche per me
"francicko":
Ti prego di vagliare attentamente la mia risposta , in quanto essendo un profano in materia potrei benissimo sbagliarmi
Mi associo, vale anche per me
@cifa.Prego!
Comunque quando avrai finito con calma , di vagliare il mio postato, ci terrei a conoscere la tua opinione sulla veridicità o meno di cio che ho scritto.
Nell'attesa di una risposta , ti porgo cordiali saluti!
Comunque quando avrai finito con calma , di vagliare il mio postato, ci terrei a conoscere la tua opinione sulla veridicità o meno di cio che ho scritto.
Nell'attesa di una risposta , ti porgo cordiali saluti!
Se c'è qualcuno che conosce il codice per scrivere le permutazioni in notazione bidimensionale, potrebbe postarmelo?
Grazie
Grazie
Usa le matrici...
Tra i vari modi:
\(\displaystyle \left(\begin{array}{cccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
2 & 1 & 4 & 6 & 3 & 5 \end{array}\right) = (12)(3465)\)
Tra i vari modi:
\(\displaystyle \left(\begin{array}{cccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
2 & 1 & 4 & 6 & 3 & 5 \end{array}\right) = (12)(3465)\)
@cifa.Accidenti mi sono ingannato, il postato precedente è valido se la permutazione $X$ è composta da cicli disgiunti di lunghezza dispari, ed in quel caso mi fornisce un modo per ricercare $alpha$.
In generale penso che le considerazioni da fare sono le seguenti:
Supponiamo che la permutazione $alpha$ composta dal ciclo di lunghezza $n$, $(123.....n)$ con $n$ dispari, mi chiedo che forma avrà la permutazione $alpha^2=(1234....n)(1234...n)=(123..n)^2$?
Ebbene essendo $n$ dispari sarà $alpha^2=(1357...n246....(n-1))$ cioè una permutazione diversa ma composta ancora da un ciclo avente lunghezza $n$. Per esempio se prendiamo $alpha=(123456789)$ otteniamo $alpha^2=(135792468)$ ancora di lunghezza $9$, e quindi scomponibile in un numero pari di trasposizioni disgiunte, cioè di classe pari..
Supponiamo adesso invece che la permutazione $alpha$ sia composta dal ciclo di lunghezza $n$, $(123...n)$ con $n$ pari,
mi chiedo anche in questo caso che forma avrà la permutazione $alpha^2$?
Ebbene in questo caso avrò la seguente permutazione $(135...(n-1))$ $(246...n)$, cioè composta da due cicli disgiunti entrambi di lunghezza $n/2$ quindi pari o dispari, e quindi in definitiva avrò una permutazione scompnibile in un numero pari di trasposizioni disgiunte, cioè di classe pari. Per esempio prendiamo la permutazione $alpha=(12345678)$ risulterà
$alpha^2=(1357)(2468)$, cioè composta da due cicli di lunghezza $4$, pertanto sarà di classe pari. Nel caso di $alpha=(123456)$ otterremo $alpha^2=(135)(246)$, quindi due cicli di lunghezza dispari, pertanto $alpha^2$ sarà di classe pari.
Avendo analizzato i suddetti casi, e dato che una permutazione è sempre possibile scomporla in cicli disgiunti posso concludere che se $sigma$ $inS_n$ è una permutazione di classe dispari allora non può esistere $alpha$ tale che $alpha^2$ $=$ $sigma$, ed il punto (a) è soddisfatto.
Concluendo,per quanto riguarda il punto (c) adesso risulta evidente che per la permutazione $X=(12)(3456)$ non può esistere una permutazione $alpha$ tale che $alpha^2=X$, in quanto come minimo dovrebbe possedere due cicli disgiunti di lunghezza $4$, oppure essere costituita da un unico ciclo di lunghezza dispari, invece è costituita da un ciclo di lungezza $2$ e da uno di lunghezza $4$, da qui l'impossibilità. Se invece fosse stato $X=(1278)(3456)$ allora avremmo $alpha=(13247586)$, infatti eseguendo la composizine si otterrebbe: $X=alpha^2$. Spero che l'asserto sia esatto, e di non essermi
sbagliato!
In generale penso che le considerazioni da fare sono le seguenti:
Supponiamo che la permutazione $alpha$ composta dal ciclo di lunghezza $n$, $(123.....n)$ con $n$ dispari, mi chiedo che forma avrà la permutazione $alpha^2=(1234....n)(1234...n)=(123..n)^2$?
Ebbene essendo $n$ dispari sarà $alpha^2=(1357...n246....(n-1))$ cioè una permutazione diversa ma composta ancora da un ciclo avente lunghezza $n$. Per esempio se prendiamo $alpha=(123456789)$ otteniamo $alpha^2=(135792468)$ ancora di lunghezza $9$, e quindi scomponibile in un numero pari di trasposizioni disgiunte, cioè di classe pari..
Supponiamo adesso invece che la permutazione $alpha$ sia composta dal ciclo di lunghezza $n$, $(123...n)$ con $n$ pari,
mi chiedo anche in questo caso che forma avrà la permutazione $alpha^2$?
Ebbene in questo caso avrò la seguente permutazione $(135...(n-1))$ $(246...n)$, cioè composta da due cicli disgiunti entrambi di lunghezza $n/2$ quindi pari o dispari, e quindi in definitiva avrò una permutazione scompnibile in un numero pari di trasposizioni disgiunte, cioè di classe pari. Per esempio prendiamo la permutazione $alpha=(12345678)$ risulterà
$alpha^2=(1357)(2468)$, cioè composta da due cicli di lunghezza $4$, pertanto sarà di classe pari. Nel caso di $alpha=(123456)$ otterremo $alpha^2=(135)(246)$, quindi due cicli di lunghezza dispari, pertanto $alpha^2$ sarà di classe pari.
Avendo analizzato i suddetti casi, e dato che una permutazione è sempre possibile scomporla in cicli disgiunti posso concludere che se $sigma$ $inS_n$ è una permutazione di classe dispari allora non può esistere $alpha$ tale che $alpha^2$ $=$ $sigma$, ed il punto (a) è soddisfatto.
Concluendo,per quanto riguarda il punto (c) adesso risulta evidente che per la permutazione $X=(12)(3456)$ non può esistere una permutazione $alpha$ tale che $alpha^2=X$, in quanto come minimo dovrebbe possedere due cicli disgiunti di lunghezza $4$, oppure essere costituita da un unico ciclo di lunghezza dispari, invece è costituita da un ciclo di lungezza $2$ e da uno di lunghezza $4$, da qui l'impossibilità. Se invece fosse stato $X=(1278)(3456)$ allora avremmo $alpha=(13247586)$, infatti eseguendo la composizine si otterrebbe: $X=alpha^2$. Spero che l'asserto sia esatto, e di non essermi
sbagliato!
Penso che tutta la descrizione sia un po' prolissa. Il fatto è che:
1) Cicli disgiunti commutano.
[strike]2) sia \(\displaystyle \alpha \) un \(\displaystyle n \)-ciclo allora \(\displaystyle \alpha^d \), con \(\displaystyle d
Da questi due fatti, di facile dimostrazione, segue la tesi.
[edit cancellata la parte non completamente corretta]
1) Cicli disgiunti commutano.
[strike]2) sia \(\displaystyle \alpha \) un \(\displaystyle n \)-ciclo allora \(\displaystyle \alpha^d \), con \(\displaystyle d
Da questi due fatti, di facile dimostrazione, segue la tesi.
[edit cancellata la parte non completamente corretta]
x@Vict85. La dimostrazione può risultare un pò prolissa, in quanto ho cercato di esplicitare al meglio le argomentazioni
con degli esempi, ed fornire così l'esattezza dell'asserto!
Essendo che conosco poco l'argomento sulle permutazioni, ma conosco qualcosina sui gruppi, ho cercato di risolvere il problema usando solamente proprietà elementari delle permutazioni, senza ricorrere alla teoria dei gruppi, in modo da non generare confusione, anche se i due argomenti sono strettamente correlati.
Per il punto 1), ho specificato infatti che tratto sempre cicli disgiunti, diversamente non avendo assicurata
la commutatività, le argomentazioni che ho postato non starebbero in piedi.
Per il punto 2) se mi permetti, la tua asserzione a mio modesto avviso é falsa, prendiamo ad esempio un ciclo di
lunghezza $n=6$, $alpha=(123456)$, l'elemento $alpha^4=(123456)^4=(153)(264)$ come puoi vedere
è composto da due cicli disgiunti di lunghezza $3$, e non ancora da un ciclo di lunghezza $6$,
nonostante $4$ non divida $6$.
Quello che asserisci risulterebbe vero se fosse $alpha^d$ con $(d,n)=1$, cioè se $d$ ed $n$ sono coprimi,
come si dimostra nei primi elementi dei gruppi ciclici, infatti corrisponde nel caso specifico che ho trattato
dove si ha $(2,n)=1$ sempre quando $n$ è dispari.
con degli esempi, ed fornire così l'esattezza dell'asserto!
Essendo che conosco poco l'argomento sulle permutazioni, ma conosco qualcosina sui gruppi, ho cercato di risolvere il problema usando solamente proprietà elementari delle permutazioni, senza ricorrere alla teoria dei gruppi, in modo da non generare confusione, anche se i due argomenti sono strettamente correlati.
Per il punto 1), ho specificato infatti che tratto sempre cicli disgiunti, diversamente non avendo assicurata
la commutatività, le argomentazioni che ho postato non starebbero in piedi.
Per il punto 2) se mi permetti, la tua asserzione a mio modesto avviso é falsa, prendiamo ad esempio un ciclo di
lunghezza $n=6$, $alpha=(123456)$, l'elemento $alpha^4=(123456)^4=(153)(264)$ come puoi vedere
è composto da due cicli disgiunti di lunghezza $3$, e non ancora da un ciclo di lunghezza $6$,
nonostante $4$ non divida $6$.
Quello che asserisci risulterebbe vero se fosse $alpha^d$ con $(d,n)=1$, cioè se $d$ ed $n$ sono coprimi,
come si dimostra nei primi elementi dei gruppi ciclici, infatti corrisponde nel caso specifico che ho trattato
dove si ha $(2,n)=1$ sempre quando $n$ è dispari.
Ci avevo pensato velocemente e probabilmente anche distrattamente. Ecco la versione corretta.
2bis) sia \(\displaystyle \alpha \) un \(\displaystyle n \)-ciclo e \(\displaystyle t = (n,d) \) allora \(\displaystyle \alpha^d \) è il prodotto \(\displaystyle t \) cicli disgiunti di lunghezza \(\displaystyle n/t \).
Si ha \(\displaystyle \langle \alpha^d \rangle = \langle \alpha^t\rangle \) in quanto \(\displaystyle \alpha^d \) ha esattamente ordine \(\displaystyle n/t\) in \(\displaystyle\langle\alpha\rangle \).
Per ogni \(\displaystyle i \) non fissato da \(\displaystyle \alpha \) consideriamo il minimo \(\displaystyle s\le n/t \) tale che \(\displaystyle (\alpha^d)^s(i) = i\) allora si avrebbe \(\displaystyle \alpha^{ds}(i) = i \). Siccome \(\displaystyle \alpha \) è un ciclo si deve avere \(\displaystyle n|ds \). Di conseguenza \(\displaystyle n|ts \) e \(\displaystyle s=n/t \). Pertanto \(\displaystyle \alpha^d \) è il prodotto di \(\displaystyle n/t \)-cicli disgiunti e il loro numero deve per forza essere \(\displaystyle t \).
Il punto 1 è ben più immediato.
2bis) sia \(\displaystyle \alpha \) un \(\displaystyle n \)-ciclo e \(\displaystyle t = (n,d) \) allora \(\displaystyle \alpha^d \) è il prodotto \(\displaystyle t \) cicli disgiunti di lunghezza \(\displaystyle n/t \).
Si ha \(\displaystyle \langle \alpha^d \rangle = \langle \alpha^t\rangle \) in quanto \(\displaystyle \alpha^d \) ha esattamente ordine \(\displaystyle n/t\) in \(\displaystyle\langle\alpha\rangle \).
Per ogni \(\displaystyle i \) non fissato da \(\displaystyle \alpha \) consideriamo il minimo \(\displaystyle s\le n/t \) tale che \(\displaystyle (\alpha^d)^s(i) = i\) allora si avrebbe \(\displaystyle \alpha^{ds}(i) = i \). Siccome \(\displaystyle \alpha \) è un ciclo si deve avere \(\displaystyle n|ds \). Di conseguenza \(\displaystyle n|ts \) e \(\displaystyle s=n/t \). Pertanto \(\displaystyle \alpha^d \) è il prodotto di \(\displaystyle n/t \)-cicli disgiunti e il loro numero deve per forza essere \(\displaystyle t \).
Il punto 1 è ben più immediato.
Mostro come si usano i miei due punti anche se la risposta è sostanzialmente già stata usata.
(b) Per il mio punto 2bis posso avere due casi:
"cifa":
7. (a) [...]
(b) Determinare \(\displaystyle \alpha \in S_6 \) tale che \(\displaystyle (\alpha)^2 = (123)(456) \)
(c) Spiegare perché non esiste \(\displaystyle \alpha \in S_6 \) tale che \(\displaystyle (\alpha)^2 = (12)(3456)\)
(b) Per il mio punto 2bis posso avere due casi:
- [*:1bnbqiqo]\(\displaystyle \alpha \) è un \(\displaystyle 6 \)-ciclo. Infatti in quel caso il \(\displaystyle 6 \)-ciclo si spezzerebbe in due cicli disgiunti.[/*:m:1bnbqiqo]
[*:1bnbqiqo]\(\displaystyle \alpha \) è il prodotto di due \(\displaystyle 3 \)-ciclo disgiunti; uno per ogni \(\displaystyle 3 \)-ciclo disgiunto di \(\displaystyle (123)(456) \).[/*:m:1bnbqiqo][/list:u:1bnbqiqo]
Nel primo caso ricavo \(\displaystyle \alpha = (142536) \). Nel secondo invece ricavo \(\displaystyle \alpha = (132)(465) \). Siccome non ci sono elementi fissati queste due soluzioni sono anche le uniche 2.
(c)Il secondo è più semplice. Supponiamo per assurdo che esista \(\displaystyle \alpha \). Per il 2bis so che \(\displaystyle (12) \) e \(\displaystyle (3456) \) non posso derivare dallo stesso ciclo della scomposizione di \(\displaystyle \alpha \). Questo significa che \(\displaystyle \alpha = \sigma_1\sigma_2 \) dove \(\displaystyle \sigma_1 \) e \(\displaystyle \sigma_2 \) sono cicli tali che \(\displaystyle \sigma_1^2 = (12) \) e \(\displaystyle \sigma_2^2 = (3456) \).
Siccome le potenze di un ciclo fissano lo stesso numero di elementi del ciclo di partenza allora \(\displaystyle \sigma_1 \) è un \(\displaystyle 2 \)-ciclo e \(\displaystyle \sigma_2 \) è un \(\displaystyle 4 \)-ciclo. Ma allora \(\displaystyle \sigma_1^2 = 1\neq (12)\) e \(\displaystyle \sigma_2^2 \) è il prodotto di due \(\displaystyle 2 \)-cicli contro le ipotesi.
Si d'accordo , ma resto dell'idea che il ragionamento che ho postato io, resta esatto e lineare, in quanto non fa ricorso
alla definizione di ordine di un elemento che è propria dei gruppi , ma utilizza strettamente la definizione di lunghezza del ciclo di una permutazione, e il fatto che una permutazione il cui ciclo è di lunghezza dispari(pari) si può scomporre in un numero pari(dispari) di trasposizioni disgiunte, null'altro.
Saluti.
alla definizione di ordine di un elemento che è propria dei gruppi , ma utilizza strettamente la definizione di lunghezza del ciclo di una permutazione, e il fatto che una permutazione il cui ciclo è di lunghezza dispari(pari) si può scomporre in un numero pari(dispari) di trasposizioni disgiunte, null'altro.
Saluti.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo