Dubbio banale su quozienti di anelli

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27 feb 2021, 00:26

Tra una cosa e l'altra mi si chiede di dimostrare che posto $ j := e^{2\pi i/3} $ allora per ogni $p \geq 2 $ primo risulta che
\[ \mathbb{Z}[j] / (p) \cong \mathbb{F}_p[X] / (X^2+X+1) \]

Allora in primo luogo io ho dimostrato che $ \mathbb{F}_p[X] / (X^2+X+1) \cong \mathbb{F}_p[j] $ notando che $ X^2+X+1 $ è il polinomio minimale di $ e^{2 \pi i /3} $ e quindi è il $ \ker $ della mappa che valuta un polinomio in $ \mathbb{F}_p [X] $ in $ j$. Poi ho semplicemente detto $\mathbb{Z}[j] / p \mathbb{Z}[j] \cong \mathbb{F}_p[j] $. Credo sia giusto. Però mi sono reso conto di una cosa. Posso dire sempre che
\[\mathbb{Z}[X] / p \mathbb{Z}[X] = \left( \mathbb{Z} / p \mathbb{Z} \right) [X] \]
oppure la questione è più delicata e ogni tanto non è vero?
O ancora più in generale, se $A $ è un anello e $ I $ un suo ideale. Allora è vero che
\[ A[X]/I[X] = (A/I)[X] \]

Il dubbio mi è sorto dal fatto che sono due scritture differenti che vedo spesso usate "contemporaneamente" nel medesimo testo.
Perdonate il dubbio banale ma è da un po' che non faccio quozienti e onestamente non mi ricordo se è solo una scrittura, è vero per definizione, si dimostra (se si come?) oppure è falso.

Risposte

84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb

27 feb 2021, 12:11

Anyways... i punti dopo mi chiedono quanto segue. Onestamente ho poche idee. Qualcuno sarebbe così gentile da darmi degli hint?

c) Deduci che $p \geq 5 $ non è un numero primo in $ \mathbb{Z}[j] $ se e solo se $-3$ è un quadrato $ \mod p $
d) Dimostra che $-3 $ è un quadrato modulo $p $ se e solo se $ p \equiv 1 \mod 3 $
e) Concludere che un numero primo $ p \geq 5 $ è della forma $a^2-ab+b^2 $ con $ a,b \in \mathbb{Z} $ se e solo se $ p \equiv 1 \mod 3 $.

hydro1

27 feb 2021, 13:16

Prendi $\pi\colon A\to A/I$ la proiezione sul quozientie. C'è una mappa $\phi\colon A[x]\to (A/I)[x]$, che manda $\sum a_ix^i\mapsto \sum \pi(a_i)x^i$, ed è ovviamente suriettiva perchè $\pi$ lo è. Qual è il nucleo di $\phi$?

c) Solita roba: $\mathbb Z[j]/(p)\cong \mathbb Z[x]/(p,x^2+x+1)$.

d) Reciprocità quadratica.

e) segue da c)+d)

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27 feb 2021, 13:42

Il nucleo di $ \phi $ è $ I[X] $ poiché il nucleo di $ \pi $ è $I$. Infatti se un polinomio $p$ di $ A[X] $ è in $I[X] $ allora per definizione di $ \phi $ è chiaro che ogni coefficiente di $ \phi(p) = 0 $ in $ (A/I)[X] $.
Inversamente se un polinomio è nel nucleo allora $ \phi(p)(x) = 0 $ da cui deduciamo che per ogni $ a_i $ risulta che $ \pi(a_i) = 0 $ dunque ogni coefficiente di $p$ sta in $ I $ e concludiamo che $p \in I[x] $. Concludo con il teorema di isomorfismo. Grazie

c) Si voglio dimostrare che $ X^2+X+1 $ possiede una radice in $ \mathbb{F}_p $ se e solo se $ -3 $ è un quadrato mod $p $.

Ho pensato di fare così:
Se esistono due radici allora $ X_1+X_2 = - 1 $ e $ X_1 X_2 =1 $ da cui $ X_2 \equiv X_1^{-1} \mod p $ e $ X_1 + X_2 \equiv p-1 \mod p $ e dimostrare che l'esistenza di questi $ X_1,X_2 $ è equivalente all'esistenza di un $n $ tale che $ n^2 \equiv -3 \mod p $. Ma mi blocco.

hydro1

27 feb 2021, 13:58

"3m0o":

c) Si voglio dimostrare che $ X^2+X+1 $ possiede una radice in $ \mathbb{F}_p $ se e solo se $ -3 $ è un quadrato mod $p $.

E quand'è che un polinomio di secondo grado ha una radice?

84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb

27 feb 2021, 14:10

"hydro":

E quand'è che un polinomio di secondo grado ha una radice?

Ma non è vero... bastava veramente calcolarsi il delta e dire che ha una radice se e solo se $ \sqrt{-3}= \sqrt{n^2} $ ?? E quindi le radici sono $ (-1 \pm n )/2 \mod p $ se esiste $n $ tale che $ n^2 \equiv -3 \mod p $....

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27 feb 2021, 16:19

"hydro":

d) Reciprocità quadratica.

C'è qualquadra che non mi cosa qui!

Onestamente non conoscevo la reciprocità quadratica. Abbiamo che se $p,q$ sono due numeri primi allora
\[ \left( \frac{p}{q} \right) \left( \frac{q}{p} \right) = (-1)^{\frac{p-1}{2} \frac{q-1}{2} } \]
dove $ \left( \frac{\cdot}{\cdot} \right) $ è il simbolo di Legendre.
Quindi se $ 1 \equiv p \mod 3 $ e ponendo $q=3 $ abbiamo che $ 1^2 = 1 \equiv p \mod 3 $ dunque $ \left( \frac{p}{3} \right) =1 $.
Dunque
\[ \left( \frac{p}{3} \right) \left( \frac{3}{p} \right) = (-1)^{\frac{p-1}{2} \frac{2}{2} } = 1 \]
da cui deduco che $ \left( \frac{3}{p} \right) = 1 $ pertanto esiste $ n $ tale che $n^2 \equiv 3 \mod p $.
A me serve invece un $ x $ tale che $ x^2 \equiv -3 \mod p $. Quindi devo dimostrare che
\[ \left( \frac{-3}{p} \right) = 1 \]
MA usando la multiplicatività del simbolo di Legendre otteniamo che
\[ \left( \frac{-3}{p} \right) = \left( \frac{3}{p} \right) \left( \frac{-1}{p} \right) = \left( \frac{-1}{p} \right) \]
dunque
$ \left( \frac{-3}{p} \right) = 1 $ se e solo se $ \left( \frac{-1}{p} \right) = 1 $ se e solo se $ p \equiv -1 \mod 4 $.

La cosa che non mi quadra è che $ 7 \equiv 1 \mod 3 $ quindi dovremmo avere che $n^2 \equiv 3 \mod 7 $ per qualche $n$ ma è falso perché abbiamo che $ 2^2 \equiv -3 \mod 7 $ e $ 7 \equiv 3 \mod 4 $.

Dove sbaglio?

hydro1

27 feb 2021, 16:37

"3m0o":
[quote="hydro"]
d) Reciprocità quadratica.

84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb

27 feb 2021, 17:15

Chiaramente ho detto una cavolata.

Però posso modificarla. Se $ (p-1)/2 $ è pari allora sia $3$ che $-3 $ è un quadrato.
Mentre se $ (p-1)/2 $ è dispari allora invece di $1$ ottengo $-1$ e quindi usando la multiplicatività posso dire
\[ \left( \frac{-3}{p} \right) = \left( \frac{3}{p} \right) \left( \frac{-1}{p} \right)= - \left( \frac{-1}{p} \right) = 1 \]
in entrambi i casi abbiamo che $ -3 $ è un quadrato.

Per l'altra direzione se $- 3 $ è un quadrato allora $X^2+X+1 $ possiede una radice che è anche radice di $X^3 -1 $ dunque $ X $ è un elemento di ordine $3$ di $ \mathbb{F}_p^{\times} $ pertanto $3 $ divide $p-1 $ da cui deduciamo che $ p \equiv 1 \mod 3 $.

84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb

28 feb 2021, 13:23

Per l'ultimo.

Un primo $ p = a^2-ab+b^2 \in \mathbb{Z} $ se e solo se $ p = (a+bj)(a+bj^2) \in \mathbb{Z}[j] $ e siccome $ \mathbb{Z}[j] $ è un UFD allora risulta che $p$ non è primo in $ \mathbb{Z}[j] $ se e solo se $p \equiv 1 \mod 3 $.

Ma inversamente non so come fare. Perché se $p \equiv 1 \mod 3 $ come faccio a dire che $ p = (a+bj)(a+bj^2) \in \mathbb{Z}[j] $?
Okay ho che $p $ non è primo in $ \mathbb{Z}[j] $, ma a priori potrebbe decomporsi in altro modo. No?

hydro1

28 feb 2021, 16:27

$p\equiv 1 \mod 3$ se e solo se $-3$ è un quadrato modulo $p$ se e solo se $p$ non è primo in $\mathbb Z[j]$ se e solo se $p=xy$ con $x,y\in \mathbb Z[j]$ non unitari se e solo se esiste $x\in \mathbb Z[j]$ di norma $p$. Infatti se $p=xy$ allora per la moltiplicatività della norma hai $N(x)=p$; viceversa se $N(x)=p$ allora $N(\overline{x})=p$ e dunque $N(x\overline{x})=N(p)$. D'altronde $x\overline{x}\in \mathbb Z$ per invarianza di Galois e dunque $p=x\overline{x}$.

84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb

28 feb 2021, 19:49

Sono d'accordo ma non capisco questo come mi faccia concludere che $ p = a^2-ab+b^2 $.

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