Dubbi sull'esistenza dell'insieme delle parti di R nella teoria ZF
Buongiorno a tutti 
Mi presento: sono uno studente alla magistrale di Fisica di 24 anni. Approdo su questo forum dopo un'amara delusione sul sito di math stackexchange, dove si ricevono insulti più o meno velati invece di aiuto e supporto se la domanda che si pone non appare chiara a chi ti risponde. Sono venuto qui alla ricerca di appoggio e chiarimenti.
Detto questo, passo direttamente alla domanda. Nella teoria ZF è presente un assioma, l'assioma dell'insieme potenza, che mi garantisce l'esistenza dell'insieme potenza di un dato insieme. Questo implica che tutti i sottoinsiemi di un dato insieme esistono. Fin qui sbaglio?
Bene. D'altra parte si può dimostrare, tramite l'assioma della scelta, che esistono sottoinsiemi di R come l'insieme di Vitali che in un sistema ZF con la negazione dell'assioma della scelta non esisterebbero.
La mia domanda quindi è: se nulla si può dire sull'esistenza di certi sottoinsiemi dei reali come l'insieme di Vitali, perché si può dire qualcosa sull'esistenza dell'insieme potenza? Dato che ZF è coerente con la negazione dell'assioma della scelta, sicuramente c'è una risposta non contraddittoria a questa domanda, ma mi sfugge. Grazie per l'eventuale risposta
Mi presento: sono uno studente alla magistrale di Fisica di 24 anni. Approdo su questo forum dopo un'amara delusione sul sito di math stackexchange, dove si ricevono insulti più o meno velati invece di aiuto e supporto se la domanda che si pone non appare chiara a chi ti risponde. Sono venuto qui alla ricerca di appoggio e chiarimenti.
Detto questo, passo direttamente alla domanda. Nella teoria ZF è presente un assioma, l'assioma dell'insieme potenza, che mi garantisce l'esistenza dell'insieme potenza di un dato insieme. Questo implica che tutti i sottoinsiemi di un dato insieme esistono. Fin qui sbaglio?
Bene. D'altra parte si può dimostrare, tramite l'assioma della scelta, che esistono sottoinsiemi di R come l'insieme di Vitali che in un sistema ZF con la negazione dell'assioma della scelta non esisterebbero.
La mia domanda quindi è: se nulla si può dire sull'esistenza di certi sottoinsiemi dei reali come l'insieme di Vitali, perché si può dire qualcosa sull'esistenza dell'insieme potenza? Dato che ZF è coerente con la negazione dell'assioma della scelta, sicuramente c'è una risposta non contraddittoria a questa domanda, ma mi sfugge. Grazie per l'eventuale risposta
Risposte
Benvenuto nel forum.
Se l'intervento su stack exchange a cui ti riferisci è questo, secondo me non hai ricevuto insulti (quello del "mattone dorato" mi sembra solo un esempio), inoltre sono state date molte risposte.
La questione a mio parere è come segue: [tex]P(\mathbb{R})[/tex] esiste indipendentemente dall'assioma della scelta (AC), solo che se vale AC allora [tex]V \in P(\mathbb{R})[/tex] (dove $V$ è l'insieme di Vitali), mentre se non vale AC allora $V$ non esiste (e quindi [tex]V \not \in P(\mathbb{R})[/tex]). In altre parole immaginando una teoria ZF con AC e una teoria ZF senza AC allora l'insieme potenza [tex]P(\mathbb{R})[/tex] è diverso nelle due teorie ma (e questo è il punto importante) esiste in entrambe.
Se l'intervento su stack exchange a cui ti riferisci è questo, secondo me non hai ricevuto insulti (quello del "mattone dorato" mi sembra solo un esempio), inoltre sono state date molte risposte.
La questione a mio parere è come segue: [tex]P(\mathbb{R})[/tex] esiste indipendentemente dall'assioma della scelta (AC), solo che se vale AC allora [tex]V \in P(\mathbb{R})[/tex] (dove $V$ è l'insieme di Vitali), mentre se non vale AC allora $V$ non esiste (e quindi [tex]V \not \in P(\mathbb{R})[/tex]). In altre parole immaginando una teoria ZF con AC e una teoria ZF senza AC allora l'insieme potenza [tex]P(\mathbb{R})[/tex] è diverso nelle due teorie ma (e questo è il punto importante) esiste in entrambe.
"I denso":
Bene. D'altra parte si può dimostrare, tramite l'assioma della scelta, che esistono sottoinsiemi di R come l'insieme di Vitali che in un sistema ZF con la negazione dell'assioma della scelta non esisterebbero.
La mia domanda quindi è: se nulla si può dire sull'esistenza di certi sottoinsiemi dei reali come l'insieme di Vitali, perché si può dire qualcosa sull'esistenza dell'insieme potenza? Dato che ZF è coerente con la negazione dell'assioma della scelta, sicuramente c'è una risposta non contraddittoria a questa domanda, ma mi sfugge. Grazie per l'eventuale risposta
quoto in toto Martino che ha sfilato la questione
(é un complimento @Martino 
), tuttavia non per fare il solito guastafeste cosa intendi con quel "come"? Il primo "come l'insieme di Vitali" (riferito ai sottoinsiemi di R) mi é, diciamo, chiaro tuttavia usato con riferimento alla frase "che in un sistema ZF con la negazione dell'assioma della scelta non esisterebbero" (riferito ai sottoinsiemi di R "come l'insieme di Vitali") mi fa pensare a cosa ti riferisci veramente con quel "come", ed a catena anche per il secondo "come"...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo