Dubbi sui campi
1) Siano [tex]K[/tex], [tex]F[/tex] campi e [tex]f:K\to F[/tex] omomorfismo. Che relazione c'è tra le caratteristiche dei due campi?
Io qui ho pensato di utilizzare il fatto che un omomorfismo di campi è sempre iniettivo. Così [tex]f(n)=0[/tex] \Rightleftarrow [tex]n=0[/tex]. Così: [tex]f(n)=f(n1_K)=n1_F[/tex] così i due hanno la stessa caratteristica. È corretto?
2) Dimostrare che [tex]K[x,y][/tex] non è isomofo a [tex]K[x]\times K[y][/tex].
Credo che tutto si giochi sui termini "misti" del tipo [tex]xy[/tex] ma non so come procedere.
3) Trovare un ideale [tex]I[/tex] tale che [tex]K[x,y] / I[/tex] sia un dominio ma non un campo.
Io so che dato un anello [tex]A[/tex] ed un suo ideale [tex]I[/tex], allora [tex]A/I[/tex] è un dominio ma non un campo se e solo se [tex]I[/tex] è un ideale primo non massimale. Detto ciò, non riesco a trovare un tale ideale.
Sapreste darmi una mano?
Io qui ho pensato di utilizzare il fatto che un omomorfismo di campi è sempre iniettivo. Così [tex]f(n)=0[/tex] \Rightleftarrow [tex]n=0[/tex]. Così: [tex]f(n)=f(n1_K)=n1_F[/tex] così i due hanno la stessa caratteristica. È corretto?
2) Dimostrare che [tex]K[x,y][/tex] non è isomofo a [tex]K[x]\times K[y][/tex].
Credo che tutto si giochi sui termini "misti" del tipo [tex]xy[/tex] ma non so come procedere.
3) Trovare un ideale [tex]I[/tex] tale che [tex]K[x,y] / I[/tex] sia un dominio ma non un campo.
Io so che dato un anello [tex]A[/tex] ed un suo ideale [tex]I[/tex], allora [tex]A/I[/tex] è un dominio ma non un campo se e solo se [tex]I[/tex] è un ideale primo non massimale. Detto ciò, non riesco a trovare un tale ideale.
Sapreste darmi una mano?
Risposte
1) Direi che è corretto.
Giusto per rendere il tutto più completo aggiungerei che un morfismo di campi se non è iniettivo, allora è banale (cioè identicamente nullo). Nel caso banale è evidente che non si può dire nulla sulle caratteristiche dei campi.
Per il caso non banale ricorda che a priori la prova che hai dato tu dà solo una condizione di divisibilità tra le due caratteristiche. Ricordando poi che la caratteristica di un campo è sempre un primo si ha l'uguaglianza.
2)Si può osservare facilmente che $K[x,y]$ è un dominio mentre $K[x] \times K[y]$ non lo è.
Più in generale presi due anelli $A$ e $B$ è interessante vedere come sono fatti i divisori di zero in $A \times B$.
3)L'esempio più facile che viene in mente è senza dubbio con $I = 0$. Però magari è un po' poco interessante.
Per un caso più interessante ti suggerirei di studiare gli ideali generati dalle singole indeterminate. Questi risulteranno primi ma non massimali.
Cosa si può dire del quoziente che si ottiene in questo caso?
Giusto per rendere il tutto più completo aggiungerei che un morfismo di campi se non è iniettivo, allora è banale (cioè identicamente nullo). Nel caso banale è evidente che non si può dire nulla sulle caratteristiche dei campi.
Per il caso non banale ricorda che a priori la prova che hai dato tu dà solo una condizione di divisibilità tra le due caratteristiche. Ricordando poi che la caratteristica di un campo è sempre un primo si ha l'uguaglianza.
2)Si può osservare facilmente che $K[x,y]$ è un dominio mentre $K[x] \times K[y]$ non lo è.
Più in generale presi due anelli $A$ e $B$ è interessante vedere come sono fatti i divisori di zero in $A \times B$.
3)L'esempio più facile che viene in mente è senza dubbio con $I = 0$. Però magari è un po' poco interessante.
Per un caso più interessante ti suggerirei di studiare gli ideali generati dalle singole indeterminate. Questi risulteranno primi ma non massimali.
Cosa si può dire del quoziente che si ottiene in questo caso?
Ho capito tutto, grazie mille per la risposta.
Sfrutto lo stesso topic per un dubbio nuovo:
Io ho escluso l'esistenza di un tale campo. Infatti le radici quadrate sono le radici del polinomio [tex]x^2-25[/tex] che in un campo ha al più due soluzioni. Resta il caso dell'anello. Come posso costruirlo?
Costruire un anello ed un campo (se esistono) in cui [tex]25[/tex] ha quattro radici quadrate.
Io ho escluso l'esistenza di un tale campo. Infatti le radici quadrate sono le radici del polinomio [tex]x^2-25[/tex] che in un campo ha al più due soluzioni. Resta il caso dell'anello. Come posso costruirlo?
Ma stiamo parlando del 25 inteso come numero intero 25??
In tal caso, per il campo non c'è nulla da fare, perché Ruffini garantisce che il numero di radici di un polinomio su un dominio è al più pari al grado del polinomio.
Per l'anello, dobbiamo andare a cercare qualcosa che non sia un dominio e che contenga $\ZZ$. Così su due piedi direi che bisogna andare a pescare radici nei quaternioni, ma bisognerebbe mettersi a fare due conti.
Ad esempio, qualcosa come $3i + 4j$ dovrebbe essere radice di quel polinomio nei quaternioni.
In tal caso, per il campo non c'è nulla da fare, perché Ruffini garantisce che il numero di radici di un polinomio su un dominio è al più pari al grado del polinomio.
Per l'anello, dobbiamo andare a cercare qualcosa che non sia un dominio e che contenga $\ZZ$. Così su due piedi direi che bisogna andare a pescare radici nei quaternioni, ma bisognerebbe mettersi a fare due conti.
Ad esempio, qualcosa come $3i + 4j$ dovrebbe essere radice di quel polinomio nei quaternioni.
Sì, intendo il numero intero.
Per quanto riguarda i quaternioni non li ho mai trattati quindi non saprei come affrontarli... esistono altri modi?
Per quanto riguarda i quaternioni non li ho mai trattati quindi non saprei come affrontarli... esistono altri modi?
"Injo":Prova con [tex]\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}[/tex] con [tex]n[/tex] opportuno.
esistono altri modi?
Ci avevo pensato..per quello avevo chiesto se era il 25 di $\ZZ$
"Pappappero":Di solito quando si parla di un numero intero dentro un anello unitario A si intende l'immagine di tale intero tramite l'unico omomorfismo di anelli possibile [tex]\mathbb{Z} \to A[/tex]. Secondo me l'iniettività di [tex]\mathbb{Z} \to A[/tex] non è richiesta tacitamente (non ne vedo la ragione).
Ci avevo pensato..per quello avevo chiesto se era il 25 di $\ZZ$
Ho notato che, considerando [tex]\pi:\mathbb Z \to \mathbb Z_8[/tex] con [tex]\pi[/tex] proiezione canonica, si ha che l'immagine di [tex]25[/tex] è [tex][25]_8=[1]_8\in\mathbb Z_8[/tex] (classe di [tex]1[/tex] modulo [tex]8[/tex]). Si ha poi che [tex]1^2\equiv 7^2 \equiv 3^2 \equiv 5^2 \equiv 1 \bmod{8}[/tex] quindi ho trovato quattro radici di [tex]25[/tex].
È questo che veniva richiesto?
È questo che veniva richiesto?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo