Dubbi su $K$-Omomorfismi

[mistake89]

Ho due esercizi che ho svolto ma sui quali ho ancora un pò di dubbi.

1) Si consideri $f=(x^1+1)(x^4+x^2+1)$
Determinare il campo $E$ di spezzamento su $QQ$ di $f$ e descrivere, se esistono, i $QQ$-omomorfismi $QQ(xi_3) \to E$ ove $\xi_3$ è una radice primitiva cubica dell'unità.

Se non ho commesso errori il campo $E=QQ(i,sqrt(3))$, quindi il grado $[E]=4$ ed una $QQ$-base di $E$ è ${1,i,sqrt(3),isqrt(3)}$.

Ora io so che determinare i $QQ$-omomorfismi vuol dire assegnare un'immagine a $xi_3$, cioè $sigma=phi(xi_3)$ e far si che $phi(p(xi_3))=p(sigma)$, ovvero far sì che il polinomio minimo coincida.
Il polinomio minimo di $xi_3$ è il polinomio ciclotomico, ovvero $x^2+x+1$, da cui si ha $xi_3^2=-xi-1$.
Detta $sigma=(a+ib+csqrt(3)+disqrt(3))$ devo imporre che $sigma^2=-sigma-1$, ma tal sistema non ha soluzione, quindi un simile $QQ$-omomorfismo non esiste.

E' corretto?

2) Si consideri $alpha = 2 -3i in CC$.
Calcolare il polinomio minimo $f$ di $alpha$ su $RR$.
Determinare tutti gli $RR$-omomorfismi $RR(alpha) \to CC$, stabilire se questi sono di fatto $RR$-automorfismi di $CC$

Anche qui $f=x^2-4x+13$. Ragionando come prima, detto $sigma=(a+balpha)$ si ha che $(a+balpha)^2=4(a+balpha)-13$. Sfruttando quindi il principio di identità dei polinomi giungiamo al sistema:

$\{(a^2-13b^2=4a-13),(4b^2+2ab=4b):}$. Le coppie che verificano questo sistema sono $(0,1),(4,0)$
Quindi le immagini sono $phi(alpha)=alpha$ e $phi(alpha)=4$ (questa però non tanto suona bene...!)

Quanto però all'altra richiesta non saprei effettivamente come operare. Devo mostrare che $phi:CC \to CC$ lascia effettivamente fissi gli elementi di $RR$, ma non mi viene nulla in mente per mostrarlo, anche se a naso direi che il primo (l'identità) lo fa banalmente, il secondo invece no!

Grazie a tutti!

[giaorl]

1) C'è qualcosa che non mi quadra: secondo me [tex]\xi_3 \in E=\mathbb{Q}(i,\sqrt{3})[/tex], quindi almeno l'omomorfismo che mappa la radice primitiva cubica dell'unità in se stessa ci deve essere... Senza fare conti immagino (come dici tu "a naso") che ce ne sia un altro che mappa la radice primitiva cubica nel suo quadrato, che sta ancora nel campo di spezzamento.
2) Effettivamente la seconda è sbagliata, le radici complesse di un polinomio a coefficienti reali sono coniugate, quindi, visto che [tex]2-3i[/tex] è una radice, l'altra sarà [tex]2+3i[/tex]. Poichè hai una corrispondenza biunivoca tra [tex]\mathbb{R}[/tex]-omomorfismi e radici del polinomio minimo di [tex]\alpha[/tex] in [tex]\mathbb{C}[/tex], gli omomorfismi che cerchi (che sono anche automorfismi, visto che [tex]\mathbb{R}(\alpha)=\mathbb{C}[/tex] e sono lineari e ingettivi) sono quelli che mappano [tex]\alpha \mapsto \alpha[/tex] e [tex]\alpha \mapsto \overline{\alpha}[/tex]

[mistake89]

Per il 2) grazie, non ci avevo proprio pensato.
Quanto al primo avevo fatto anche io il tuo ragionamento, però pur imponendo a mano i valori, i conti non tornavano... proverò a controllarli nuovamente

Grazie!

EDIT: Quanto al primo esercizio mi era scappato un misero segno meno davanti che mi sballava tutto! Gli omomorfismi sono proprio l'identità e quello che manda $xi_3$ nel suo quadrato.