Dubbi su: Estremo superiore e assioma di continuità.

[nc.90]

Durante lo studio della matematica mi sono sorti alcuni dubbi...

- Quesito 1° -

Si osserva, negli esempi precedenti, che talvolta, pur essendo l'insieme E limitato,
esso non possiede massimo o minimo.

E questo mi lascia perplesso poiché qualche riga prima si può leggere:

Affinchè esistano massimo e minimo l'insieme deve
essere opportunamente limitato.

Forse sbaglio, ma quest'ultima affermazione non implica proprio che
se l'insieme E è limitato esso possieda massimo o minimo?

- Quesito 2° -

Andando avanti nella lettura...

Introduciamo allora un concetto, fondamentale per l'Analisi matematica,
che è sostitutivo del concetto di massimo o minimo: quello di estremo superiore (sup)
ed estremo inferiore (inf).

Questo significa che, nell'Analisi matematica, il concetto di estremo superiore (o inferiore)
sostituisce quello di elemento massimo (o minimo)?


Grazie per l'attenzione,
Niccolò.

[Gatto891]

1) Quello che le due affermazioni dicono è che essere limitato è condizione necessaria ma non sufficiente perchè l'insieme ammetta massimo e minimo.

2) No, per esempio in $RR$ ogni insieme limitato ammette estremo superiore (inferiore) mentre può non ammettere massimo/minimo. Semplicemente un massimo/minimo è un estremo superiore/inferiore che appartiene all'insieme che si sta considerando.

Consideriamo un intervallo come esempio:

i) $Y = [a, b) = {x \in RR | a \leq x < b}$. Questo insieme ammette sia estremo inferiore ($a$) che estremo superiore ($b$), ma mentre il primo è un minimo perchè appartiene all'insieme il secondo non è un massimo perchè non appartiene a $Y$.

[nc.90]

Ti ringrazio per la spiegazione chiarissima!
Leggere le stesse cose dette in altri termini mi
è servito a comprendere bene gli argomenti!

Grazie!

[Gatto891]

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