Dubbi su alcuni esercizi sugli anelli
1)
Sia $(A,+,*)$ un anello e si consideri $n \in\ N"*"$ (N privato dello zero)
Si provi che $An={na; a\in\A}$ è un sottoanello di A.
Secondo me la traccia non è completa per poter risolvere l'esercizio. Ed è necessario conoscere l'insieme A.
In quanto le primissime condizioni dei sottoanelli affermano che l'insieme del sottoanello non dev'essere vuoto e dev'essere contenuto in A, cioè l'insieme dell'anello.
Se ad esempio prendiamo $A = {0,1,2,3,4}$, allora $(A,+,*)$ è un anello, e se prendiamo $n=10$ e $a=4 \in A$, allora il "sottoanello" $A10$ conterrà almeno l'elemento $10*4=40$, elemento che però non appartiene all'insieme $A$. Quindi $A10$ non è sottoinsieme di $A$, nè tantomeno si può parlare quindi del sottoanello $(A,+,*)$... Questo non succederebbe per $A=Z$.
Non è così?
Però la traccia ne parla come se la dimostrazione del fatto che quello sia o meno un sottoanello debba valere in generale e comunque, quando invece ciò cambia a seconda dell'insieme A, che però non conosciamo e quindi non possiamo esprimerci in generale come si dovrebbe.
2)
Siano $(A,+,*)$ un anello unitario e si considerino le operazioni $"*"$,$°$ tali che
$a"*"b=a+b-1A$ (dove noi con 1A indichiamo l'elemento neutro di $*$, quindi 1)
$a°b=a+b-ab$
Si provi che $(A, "*", °)$ è un anello.
Anche qui stesso problema.
Devo dimostrare innanzitutto che $(A,"*")$ è un gruppo abeliano. Dimostro l'associativa, la commutativa, la presenza dell'elemento neutro, mi resta da dimostrare che ogni elemento è invertibile e che l'inverso di ogni elemento appartiene all'insieme di partenza.
L'inverso di ogni elemento $a \in A$ è $2(1A)-a=2-a$. Adesso, chi ci assicura che $2-a \in\ A$?
Anche qui, infatti, con degli esempi numerici non ci troviamo:
Posto $A = {0,1,2,3,4}$,
Preso l'elemento $4$, l'inverso di $4$ per $"*"$ è $2-4=-2$, $-2$ però non appartiene ad $A$, quindi $(A, "*")$ non è invertibile per ogni elemento e quindi non è gruppo. Non essendo gruppo, allora $(A, "*", °)$ non è anello.
Questo ovviamente non succederebbe se A=Z, in questo caso sarebbe invertibile e si potrebbe proseguire con la dimostrazione che anche $(A, "*", °)$ è anello.
E' qualcosa che io non capisco, o effettivamente nelle tracce dovrebbero precisare gli elementi dell'insieme A?
3)
Sia $(A,+,*)$ anello unitario e sia $a \in\ A$, $a$ diverso da $0$, tale che $a^2=0$.
Si calcolino
$(1+a)(1-a)$
$(1-a)(1+a)$
e si interpreti il risultato così ottenuto.
Si trovino gli elementi di $Z9$ soddisfacenti la condizione precedente.
Innanzitutto non capisco come possa esistere un numero diverso da zero che elevato al quadrato dia come risultato zero, e già qui è un problema. Con $Z9$i invece è diverso, in quanto la condizione precedente credo diventi che $a^2=[0]9$, e infatti esiste $[3]9$ che soddisfa ciò, elevato al quadrato da $[0]9$. Ma si tratta appunto di classi di equivalenza, coi numeri invece non capisco come una cosa del genere possa avere senso ...
Detto questo moltiplicando le due espressioni viene a entrambe $1-a^2=1$. Il risultato ottenuto lo interpreto dicendo che vale la proprietà commutativa anche per $*$, ma non so se posso estendere questa considerazione per dire che $(A, *)$ è semigruppo abeliano e che quindi $(A,+,*)$ è un anello unitario commutativo.
Nel senso, non ho dimostrato la commutatività rispettoa $*$ fra due elementi qualsiasi di $A$, ma fra due somme algebriche specifiche
E questo mi mette in difficoltà sul poter affermare liberamente che è un semigruppo abeliano. Ovvio, potrei dimostrarlo a parte, ma io parlo dell'interpretazione richiesta dalla traccia... stando alla traccia mi devo limitare a dire che commutano quelle somme algebriche rispetto a $*$ o devo dire proprio che è un semigruppo abeliano? Nel caso del semigruppo abeliano, perchè?
Grazie.
Sia $(A,+,*)$ un anello e si consideri $n \in\ N"*"$ (N privato dello zero)
Si provi che $An={na; a\in\A}$ è un sottoanello di A.
Secondo me la traccia non è completa per poter risolvere l'esercizio. Ed è necessario conoscere l'insieme A.
In quanto le primissime condizioni dei sottoanelli affermano che l'insieme del sottoanello non dev'essere vuoto e dev'essere contenuto in A, cioè l'insieme dell'anello.
Se ad esempio prendiamo $A = {0,1,2,3,4}$, allora $(A,+,*)$ è un anello, e se prendiamo $n=10$ e $a=4 \in A$, allora il "sottoanello" $A10$ conterrà almeno l'elemento $10*4=40$, elemento che però non appartiene all'insieme $A$. Quindi $A10$ non è sottoinsieme di $A$, nè tantomeno si può parlare quindi del sottoanello $(A,+,*)$... Questo non succederebbe per $A=Z$.
Non è così?
Però la traccia ne parla come se la dimostrazione del fatto che quello sia o meno un sottoanello debba valere in generale e comunque, quando invece ciò cambia a seconda dell'insieme A, che però non conosciamo e quindi non possiamo esprimerci in generale come si dovrebbe.
2)
Siano $(A,+,*)$ un anello unitario e si considerino le operazioni $"*"$,$°$ tali che
$a"*"b=a+b-1A$ (dove noi con 1A indichiamo l'elemento neutro di $*$, quindi 1)
$a°b=a+b-ab$
Si provi che $(A, "*", °)$ è un anello.
Anche qui stesso problema.
Devo dimostrare innanzitutto che $(A,"*")$ è un gruppo abeliano. Dimostro l'associativa, la commutativa, la presenza dell'elemento neutro, mi resta da dimostrare che ogni elemento è invertibile e che l'inverso di ogni elemento appartiene all'insieme di partenza.
L'inverso di ogni elemento $a \in A$ è $2(1A)-a=2-a$. Adesso, chi ci assicura che $2-a \in\ A$?
Anche qui, infatti, con degli esempi numerici non ci troviamo:
Posto $A = {0,1,2,3,4}$,
Preso l'elemento $4$, l'inverso di $4$ per $"*"$ è $2-4=-2$, $-2$ però non appartiene ad $A$, quindi $(A, "*")$ non è invertibile per ogni elemento e quindi non è gruppo. Non essendo gruppo, allora $(A, "*", °)$ non è anello.
Questo ovviamente non succederebbe se A=Z, in questo caso sarebbe invertibile e si potrebbe proseguire con la dimostrazione che anche $(A, "*", °)$ è anello.
E' qualcosa che io non capisco, o effettivamente nelle tracce dovrebbero precisare gli elementi dell'insieme A?
3)
Sia $(A,+,*)$ anello unitario e sia $a \in\ A$, $a$ diverso da $0$, tale che $a^2=0$.
Si calcolino
$(1+a)(1-a)$
$(1-a)(1+a)$
e si interpreti il risultato così ottenuto.
Si trovino gli elementi di $Z9$ soddisfacenti la condizione precedente.
Innanzitutto non capisco come possa esistere un numero diverso da zero che elevato al quadrato dia come risultato zero, e già qui è un problema. Con $Z9$i invece è diverso, in quanto la condizione precedente credo diventi che $a^2=[0]9$, e infatti esiste $[3]9$ che soddisfa ciò, elevato al quadrato da $[0]9$. Ma si tratta appunto di classi di equivalenza, coi numeri invece non capisco come una cosa del genere possa avere senso ...
Detto questo moltiplicando le due espressioni viene a entrambe $1-a^2=1$. Il risultato ottenuto lo interpreto dicendo che vale la proprietà commutativa anche per $*$, ma non so se posso estendere questa considerazione per dire che $(A, *)$ è semigruppo abeliano e che quindi $(A,+,*)$ è un anello unitario commutativo.
Nel senso, non ho dimostrato la commutatività rispettoa $*$ fra due elementi qualsiasi di $A$, ma fra due somme algebriche specifiche
E questo mi mette in difficoltà sul poter affermare liberamente che è un semigruppo abeliano. Ovvio, potrei dimostrarlo a parte, ma io parlo dell'interpretazione richiesta dalla traccia... stando alla traccia mi devo limitare a dire che commutano quelle somme algebriche rispetto a $*$ o devo dire proprio che è un semigruppo abeliano? Nel caso del semigruppo abeliano, perchè?
Grazie.
Risposte
"fallendaydreamer":
prendiamo $A = {0,1,2,3,4}$, allora $(A,+,*)$ è un anello
Rispetto a quali operazioni [tex]$+,\ \cdot$[/tex]?
Ad esempio, se prendi la somma ed il prodotto usuali tra numeri interi allora [tex]$2+3=5\notin A$[/tex] e [tex]$2\cdot 3=6 \notin A$[/tex], sicché [tex]$A$[/tex] non è affatto un anello...
Inoltre che in qualunque anello [tex]$(A,+,\cdot )$[/tex] si ha [tex]$n a\in A$[/tex] per ogni [tex]$n\in \mathbb{N}$[/tex] e per ogni [tex]$a\in A$[/tex] si dimostra facilmente per induzione. Provare per credere.
"fallendaydreamer":
1)
Innanzitutto non capisco come possa esistere un numero diverso da zero che elevato al quadrato dia come risultato zero, e già qui è un problema.
Secondo me ti sei affezzionato troppo ai numeri. Chi ti ha detto che gli elementi del sostegno [tex]A[/tex] di un anello debbano essere numeri? E chi ti ha detto che lo [tex]0[/tex] dell'anello debba essere lo [tex]0[/tex] degli insiemi numerici?
Mi associo a WiZaRd: chi ha mai parlato di numeri?
L'interpretazione "naturale" dell'uguaglianza $(1+a)(1-a)=(1-a)(1+a)=1$ è che i due elementi $1+a$ e $1-a$ sono invertibili.
Non hai dimostrato la proprietà commutativa per due elementi qualsiasi, ma solo per quei due per cui l'hai dimostrata.
"fallendaydreamer":Come mai ti preoccupi di dimostrare che $(A,*)$ è un semigruppo abeliano? Intanto, $(A,*)$ è un semigruppo per ipotesi, e poi nessuno ti chiede di dimostrare che è abeliano (cosa che tra l'altro non puoi fare).
Detto questo moltiplicando le due espressioni viene a entrambe $1-a^2=1$. Il risultato ottenuto lo interpreto dicendo che vale la proprietà commutativa anche per $*$, ma non so se posso estendere questa considerazione per dire che $(A, *)$ è semigruppo abeliano e che quindi $(A,+,*)$ è un anello unitario commutativo.
Nel senso, non ho dimostrato la commutatività rispettoa $*$ fra due elementi qualsiasi di $A$, ma fra due somme algebriche specifiche
E questo mi mette in difficoltà sul poter affermare liberamente che è un semigruppo abeliano. Ovvio, potrei dimostrarlo a parte, ma io parlo dell'interpretazione richiesta dalla traccia... stando alla traccia mi devo limitare a dire che commutano quelle somme algebriche rispetto a $*$ o devo dire proprio che è un semigruppo abeliano? Nel caso del semigruppo abeliano, perchè?
L'interpretazione "naturale" dell'uguaglianza $(1+a)(1-a)=(1-a)(1+a)=1$ è che i due elementi $1+a$ e $1-a$ sono invertibili.
Non hai dimostrato la proprietà commutativa per due elementi qualsiasi, ma solo per quei due per cui l'hai dimostrata.
Innanzitutto grazie a tutti.
@Gugo82: le operazioni non sono specificate, ma di solito indichiamo con $"*"$ e $°$ operazioni diverse dall'usuale somma e prodotto... effettivamente ho sbagliato a dire che quello scritto da me è un anello... In pratica l'insieme $A$, ammesso che sia formato da elementi esclusivamente numerici, e dotato delle semplici operazioni di somma e prodotto, per essere un anello deve necessariamente essere $Z$, giusto?
Ora provo a dimostrare comunque
@WiZaRd: so che gli elementi di un insieme non sono necessariamente numeri, infatti dopo ho scritto che per $Z9$ riesco a trovare un filo logico. Lo zero dell'anello l'abbiamo sempre indicato con $0A$, e non semplicemente con lo zero, per questo pensavo che lo zero in questione fosse lo zero numerico, e non lo zero dell'anello.
@Martino: era proprio quello il mio dubbio. Non avendo colto il fatto che gli elementi fossero invertibili, stavo cercando di dare un'interpretazione più concreta, e cioè che vale sempre la proprietà commutativa ed è semigruppo abeliano, non era una mia preoccupazione di principio. Ma adesso che mi hai confermato che la commutativa è dimostrata solo per quei due elementi e mi hai dato lo stesso una interpretazione concreta e cioè che sono invertibili, sto a posto.
@Gugo82: le operazioni non sono specificate, ma di solito indichiamo con $"*"$ e $°$ operazioni diverse dall'usuale somma e prodotto... effettivamente ho sbagliato a dire che quello scritto da me è un anello... In pratica l'insieme $A$, ammesso che sia formato da elementi esclusivamente numerici, e dotato delle semplici operazioni di somma e prodotto, per essere un anello deve necessariamente essere $Z$, giusto?
Ora provo a dimostrare comunque
@WiZaRd: so che gli elementi di un insieme non sono necessariamente numeri, infatti dopo ho scritto che per $Z9$ riesco a trovare un filo logico. Lo zero dell'anello l'abbiamo sempre indicato con $0A$, e non semplicemente con lo zero, per questo pensavo che lo zero in questione fosse lo zero numerico, e non lo zero dell'anello.
@Martino: era proprio quello il mio dubbio. Non avendo colto il fatto che gli elementi fossero invertibili, stavo cercando di dare un'interpretazione più concreta, e cioè che vale sempre la proprietà commutativa ed è semigruppo abeliano, non era una mia preoccupazione di principio. Ma adesso che mi hai confermato che la commutativa è dimostrata solo per quei due elementi e mi hai dato lo stesso una interpretazione concreta e cioè che sono invertibili, sto a posto.
Io leggerei la cosa così, data la generalità della traccia. Magari non è la cosa giusta, ma allora la traccia è incompleta.
Definiamo l'azione di $ZZ$ su $A$ in questo modo:
Sia $n in ZZ$. Allora se $n<0$ poniamo $n \cdot a=-(a+..+a)$ (sommato $-n$ volte)
se $n=0$: $0$
se $n>0$: $(a+..+a)$ (sommato $n$ volte).
Così diamo senso alla scrittura $n a$, che altrimenti non saprei dire cosa significa.
Con quest'ipotesi,è vera la 1).
Definiamo l'azione di $ZZ$ su $A$ in questo modo:
Sia $n in ZZ$. Allora se $n<0$ poniamo $n \cdot a=-(a+..+a)$ (sommato $-n$ volte)
se $n=0$: $0$
se $n>0$: $(a+..+a)$ (sommato $n$ volte).
Così diamo senso alla scrittura $n a$, che altrimenti non saprei dire cosa significa.
Con quest'ipotesi,è vera la 1).
Grazie Gaal Dornick, credo che sia proprio questo il modo di risolverlo, per lo meno ha senso, lo capisco 
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