Dubbi riguardo esercizio su permutazioni
Ho il seguente esercizio da svolgere:
Nel gruppo $S_4$ determinare , se esiste , una permutazione $tau$ tale che
$tau circ (123) circ tau^(-1) = (124) $
Per svolgere l'esercizio ho pensato si potesse fare qualcosa del genere:
pensando alle permutazioni come applicazioni lineari , poichè $tau$ dovrebbe essere invertibile posso applicare ad entrambi i membri $tau^(-1)$ , quindi otterrò:
$tau^(-1) circ tau circ (123) circ tau^(-1) = tau^(-1) circ (124)$
$->$
$(123) circ tau^(-1) = tau^(-1) circ (124)$
arrivato qui ho pensato così:
Dal primo membro posso dire che si avrà :
$1 -> tau^(-1) (2)$
$2 -> tau^(-1) (3)$
$3 -> tau^(-1) (1)$
$4 -> tau^(-1) (4)$
quindi riscrivendo il primo membro in forma di permutazione avrei che:
$((1,2,3,4) , (2,3,1,4)) circ ((1,2,3,4) , (a,b,c,d))$ otterrei
$((1,2,3,4) , (b,c,a,d))$
ma arrivato qui non so più che pesci prendere...
Mi date qualche dritta su come posso continuare o se magari c'è un altro modo migliore di risolvere il problema?
Nel gruppo $S_4$ determinare , se esiste , una permutazione $tau$ tale che
$tau circ (123) circ tau^(-1) = (124) $
Per svolgere l'esercizio ho pensato si potesse fare qualcosa del genere:
pensando alle permutazioni come applicazioni lineari , poichè $tau$ dovrebbe essere invertibile posso applicare ad entrambi i membri $tau^(-1)$ , quindi otterrò:
$tau^(-1) circ tau circ (123) circ tau^(-1) = tau^(-1) circ (124)$
$->$
$(123) circ tau^(-1) = tau^(-1) circ (124)$
arrivato qui ho pensato così:
Dal primo membro posso dire che si avrà :
$1 -> tau^(-1) (2)$
$2 -> tau^(-1) (3)$
$3 -> tau^(-1) (1)$
$4 -> tau^(-1) (4)$
quindi riscrivendo il primo membro in forma di permutazione avrei che:
$((1,2,3,4) , (2,3,1,4)) circ ((1,2,3,4) , (a,b,c,d))$ otterrei
$((1,2,3,4) , (b,c,a,d))$
ma arrivato qui non so più che pesci prendere...
Mi date qualche dritta su come posso continuare o se magari c'è un altro modo migliore di risolvere il problema?
Risposte
Sia $ i \in {1,2,3,4} $ Se $ t $ manda $ i $ in $ t(i) $ allora $ t^{-1} $ manda $ t(i) $ in $ i $ Trattandosi di applicazioni biettive $ {1,2,3,4}={t(1),t(2),t(3),t(4)} $ quindi vediamo come si comporta $ tau circ (123) circ tau^(-1) = (124) $
$ t(1) \rightarrow 1 \rightarrow 2 \rightarrow t(2) $
$ t(2) \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow t(3) $
$ t(3) \rightarrow 3 \rightarrow 1 \rightarrow t(1) $
$ t(4) \rightarrow 4 \rightarrow 4 \rightarrow t(4) $
quindi $ tau circ (123) circ tau^(-1) = (t(1)t(2)t(3)) = (124) $ per cui $ t(1)=1,t(2)=2,t(3)=4,t(4)=3 $ ovvero $ tau = (34) $
P.S. Ho scritto $ t $ per comodità ma intendo $ tau $
$ t(1) \rightarrow 1 \rightarrow 2 \rightarrow t(2) $
$ t(2) \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow t(3) $
$ t(3) \rightarrow 3 \rightarrow 1 \rightarrow t(1) $
$ t(4) \rightarrow 4 \rightarrow 4 \rightarrow t(4) $
quindi $ tau circ (123) circ tau^(-1) = (t(1)t(2)t(3)) = (124) $ per cui $ t(1)=1,t(2)=2,t(3)=4,t(4)=3 $ ovvero $ tau = (34) $
P.S. Ho scritto $ t $ per comodità ma intendo $ tau $
mmm non è chiaro come arrivi ad affermare questo:
cioè , perchè dici che $tau(1) -> 1$ , $tau(2) -> 2$ ecc. ?quale ragionamento hai fatto?
che poi $(123)$ mandi
$1 -> 2$
$2 -> 3$
$3 -> 1$
$4 -> 4$
questi mi sono chiari ma non mi è chiaro la parte che ho detto sopra
"perplesso":
$ t(1) \rightarrow 1 \rightarrow 2 \rightarrow t(2) $
$ t(2) \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow t(3) $
$ t(3) \rightarrow 3 \rightarrow 1 \rightarrow t(1) $
$ t(4) \rightarrow 4 \rightarrow 4 \rightarrow t(4) $
cioè , perchè dici che $tau(1) -> 1$ , $tau(2) -> 2$ ecc. ?quale ragionamento hai fatto?
che poi $(123)$ mandi
$1 -> 2$
$2 -> 3$
$3 -> 1$
$4 -> 4$
questi mi sono chiari ma non mi è chiaro la parte che ho detto sopra
Sottinteso $ t^{-1}(t(1))=1 $ è questo che intendevo quando ho detto
"perplesso":
$ t^{-1} $ manda $ t(i) $ in $ i $
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