Dubbi ciclicità...
Sia $G=A_4 x ZZ_6$
a) $G$ è ciclico?
b) $G$ ha un sottogruppo isomorfo a $ZZ_12$ ?
c) determinare un p-sottogruppo di Sylov per ogni primo $p$ che divide l'ordine di $G$
anzitutto scritto così il testo non ho ben chiaro quale sia l'operazione definita su $G$, suppongo $(\sigma, n) * (\rho, m) = (\sigma°\rho, n+m)$
a questo punto dico che $G$ non è ciclico in quanto non è commutativo, $A_4$ non è commutativo...
ha un sottogruppo isomorfo a $ZZ_12$? io direi di no, dovrebber essere ciclico di ordine 12, quindi dovrebbe esistere un generatore di ordine 12, elementi di ordine 12 non esistono nè in $A_4$ nè in $ZZ_6$, per cui dovrei cercare un elemnte di ordine 4 in $A_4$ e uno di ordine 3 in $ZZ_6$ o viceversa ma non ce ne sono.
Ora però avrei un problema con l'ultimo punto perchè non riesco a trovare elementi di ordine 8, e inoltre credo che ci sia un metodo più furbo per fare il punto b)...
a) $G$ è ciclico?
b) $G$ ha un sottogruppo isomorfo a $ZZ_12$ ?
c) determinare un p-sottogruppo di Sylov per ogni primo $p$ che divide l'ordine di $G$
anzitutto scritto così il testo non ho ben chiaro quale sia l'operazione definita su $G$, suppongo $(\sigma, n) * (\rho, m) = (\sigma°\rho, n+m)$
a questo punto dico che $G$ non è ciclico in quanto non è commutativo, $A_4$ non è commutativo...
ha un sottogruppo isomorfo a $ZZ_12$? io direi di no, dovrebber essere ciclico di ordine 12, quindi dovrebbe esistere un generatore di ordine 12, elementi di ordine 12 non esistono nè in $A_4$ nè in $ZZ_6$, per cui dovrei cercare un elemnte di ordine 4 in $A_4$ e uno di ordine 3 in $ZZ_6$ o viceversa ma non ce ne sono.
Ora però avrei un problema con l'ultimo punto perchè non riesco a trovare elementi di ordine 8, e inoltre credo che ci sia un metodo più furbo per fare il punto b)...
Risposte
Sì, l'operazione è quella, si tratta di un prodotto diretto.
"nato_pigro":Non devi trovare elementi di ordine 8 ma sottogruppi di ordine 8. Prova a ragionare sui singoli fattori $A_4$ e $ZZ_6$.
avrei un problema con l'ultimo punto perchè non riesco a trovare elementi di ordine 8
non so... per $ZZ_6$ prenderei ${1,3}$ ma per $A_4$ non ne ho idea... non trovo gruppi di ordine 4... anche se per sylov so che dovrebbero esistere...
il ragionamente per il punto b) è corretto o c'è di meglio?
il ragionamente per il punto b) è corretto o c'è di meglio?
"nato_pigro":Prendi ${1,(12)(34),(13)(24),(14)(23)}$ dentro $A_4$. E' il gruppo di Klein.
non so... per $ZZ_6$ prenderei ${1,3}$ ma per $A_4$ non ne ho idea... non trovo gruppi di ordine 4... anche se per sylov so che dovrebbero esistere...
il ragionamente per il punto b) è corretto o c'è di meglio?Andrebbe scritto meglio. Supponi esista un elemento $(a,b)$ di ordine $12$. In particolare $(a,b)^{12} = (a^{12},12b)=(1,0)$. Allora $a^{12}=1$ in $A_4$, quindi l'ordine di $a$ in $A_4$ dev'essere 1,2,3,4,6 oppure 12. $A_4$ non ha elementi di ordine 4 né 6 né 12, quindi l'ordine di $a$ è 1,2 o 3. Non può essere 1 altrimenti b avrebbe ordine 12 in $ZZ_6$... eccetera.
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