Doppia implicazione campi e insiemi di numeri
Sia $S sube CC$ un insieme di numeri e sia $K$ un campo di numeri. Se $S$ è finito allora $K uu S$ è un campo se e solo se $S sub K$.
Se supponiamo $S sub K$ avremo $K uu S = K$. Di conseguenza, essendo per ipotesi $K$ un campo, anche $K uu S$ è un campo.
Per l'implicazione inversa non so come procedere, ho provato anche a dimostrare per assurdo, ma non ne sono venuta a capo... credo di dover utilizzare il fatto che $S$ è finito, ma non so come...
Grazie
Se supponiamo $S sub K$ avremo $K uu S = K$. Di conseguenza, essendo per ipotesi $K$ un campo, anche $K uu S$ è un campo.
Per l'implicazione inversa non so come procedere, ho provato anche a dimostrare per assurdo, ma non ne sono venuta a capo... credo di dover utilizzare il fatto che $S$ è finito, ma non so come...
Grazie
Risposte
certo che devi usare il fatto che $S$ è finito, altrimenti che senso avrebbe il problema??
ragiona così: $K$ è un campo, in particolare è un sottocampo di $CC$, quindi lo è rispetto alle operazioni i addizione e moltiplicazione "standard" su $CC$. questo dovrebbe dirti qualcosa sulla cardinalità di $K$, e con una piccola osservazione sulle proprietà di un campo, arrivi a concludere che $S uu K$ non può essere un campo se esistono finiti elementi di $S$ che non stanno in $K$.
ragiona così: $K$ è un campo, in particolare è un sottocampo di $CC$, quindi lo è rispetto alle operazioni i addizione e moltiplicazione "standard" su $CC$. questo dovrebbe dirti qualcosa sulla cardinalità di $K$, e con una piccola osservazione sulle proprietà di un campo, arrivi a concludere che $S uu K$ non può essere un campo se esistono finiti elementi di $S$ che non stanno in $K$.
credo che mi manchi qualche nozione... ho provato a cercare un po' su internet, ma non ho capito lo stesso...
Puoi essere più esplicito per favore? Grazie
Puoi essere più esplicito per favore? Grazie
se ti chiedo di dirmi qualche sottocampo di $CC$, cosa mi rispondi?
prova a ragionare su questo.
prova a ragionare su questo.
$RR$ e $QQ$ ad esempio sono sottocampi di $CC$, ma... non ci arrivo proprio...
provaci se non ci arrivi. se ti dico la mia soluzione a te a cosa serve?
insomma quanti elementi hanno $RR$ e $QQ$ ? infiniti no?
e se prendo ad esempio $QQ$, e gli aggingo a caso un insieme finito di elementi di $CC$ che non sono razionali, potrò ottenere ancora un campo?
o ci saranno delle proprietà che non possono essere rispettate?
è solo questione di formalizzare questo ragionamento.
insomma quanti elementi hanno $RR$ e $QQ$ ? infiniti no?
e se prendo ad esempio $QQ$, e gli aggingo a caso un insieme finito di elementi di $CC$ che non sono razionali, potrò ottenere ancora un campo?
o ci saranno delle proprietà che non possono essere rispettate?
è solo questione di formalizzare questo ragionamento.
Credimi, non è la semplice soluzione che voglio, ci sto provando da tutto il pomeriggio, sono alla ricerca di qualche proprietà su campi, sottocampi o cardinalità che mi è sfuggita...
Andiamo per punti...
Mi scrivi che il fatto che $K$ sia un sottocampo di $CC$ mi dovrebbe suggerire qualcosa sulla cardinalità di $K$, ma non ho capito cosa.. forse che $K$ è infinito? Se è così non ho capito il perchè...
Se considero il campo $K$ infinito e ci aggiungo un numero finito di elementi di $CC$ che non stanno in $K$, ovvero se ci aggiungo $S$ supposto che non sia contenuto in $K$, non ottengo più un campo, perchè se prendo due elementi qualsiasi di $K uu S$ e ci applico le quattro operazioni, non sempre ottengo un numero che appartiene ancora a $K uu S$, quindi $K uu S$ non può essere un campo. Di conseguenza dovrà essere $S sub K$.
Questo è quello che ho capito intuitivamente, ma da qui a farne una dimostrazione formale mi perdo...Senza contare il fatto che non so se quello che ho intuito è corretto...
Grazie per la pazienza!
Andiamo per punti...
Mi scrivi che il fatto che $K$ sia un sottocampo di $CC$ mi dovrebbe suggerire qualcosa sulla cardinalità di $K$, ma non ho capito cosa.. forse che $K$ è infinito? Se è così non ho capito il perchè...
Se considero il campo $K$ infinito e ci aggiungo un numero finito di elementi di $CC$ che non stanno in $K$, ovvero se ci aggiungo $S$ supposto che non sia contenuto in $K$, non ottengo più un campo, perchè se prendo due elementi qualsiasi di $K uu S$ e ci applico le quattro operazioni, non sempre ottengo un numero che appartiene ancora a $K uu S$, quindi $K uu S$ non può essere un campo. Di conseguenza dovrà essere $S sub K$.
Questo è quello che ho capito intuitivamente, ma da qui a farne una dimostrazione formale mi perdo...Senza contare il fatto che non so se quello che ho intuito è corretto...
Grazie per la pazienza!
sì va bene l'idea, solo che mi inquieto quando leggo
ma sei sicura di sapere bene cos'è un campo?
comunque a parte questo, i punti da sistemare sono:
1. capire perchè un sottocampo di $CC$ è infinito
2. spiegare meglio l' "applicare operazioni" per mostrare la tesi
"manuxy84":
le quattro operazioni
ma sei sicura di sapere bene cos'è un campo?
comunque a parte questo, i punti da sistemare sono:
1. capire perchè un sottocampo di $CC$ è infinito
2. spiegare meglio l' "applicare operazioni" per mostrare la tesi
non credo di arrivarci...
io su internet non ho trovato nulla sui sottocampi di $CC$ e nulla in generale sui sottocampi che definisca qualche proprietà sulla cardinalità, dunque mi mancano delle nozioni che per giunta non riesco a trovare o non so come trovare..!
Per il resto credo di dover dimostrare che non tutti gli elementi appartenenti a $K uu S$ e diversi da $0$ posseggono un inverso moltiplicativo in $K uu S$, quindi non è un campo, ma...non riesco a farlo... =((((
io su internet non ho trovato nulla sui sottocampi di $CC$ e nulla in generale sui sottocampi che definisca qualche proprietà sulla cardinalità, dunque mi mancano delle nozioni che per giunta non riesco a trovare o non so come trovare..!
Per il resto credo di dover dimostrare che non tutti gli elementi appartenenti a $K uu S$ e diversi da $0$ posseggono un inverso moltiplicativo in $K uu S$, quindi non è un campo, ma...non riesco a farlo... =((((
ma guarda che non è che tutte le cose bisogna saperle oppure sentirsele dire, si può anche fare qualcosa da soli ogni tanto!
e non credere che i problemi si risolvano tutti in pochi secondi, bisogna pensarci anche a lungo a volte!
io non ho mai letto niente sui sottocampi di $CC$, tutto quello che ti ho detto l'ho pensato adesso, e sono uno studente anch'io, basta mettersi lì con un po' di voglia e determinazione e provare, poi ti si dà una mano se proprio non riesci. e se per caso sbagli pazienza, anzi si impara meglio.
prova un po' a pensare perchè un sottocampo di $CC$ deve essere infinito.
ti dò un aiuto, magari non leggere subito:
e non credere che i problemi si risolvano tutti in pochi secondi, bisogna pensarci anche a lungo a volte!
io non ho mai letto niente sui sottocampi di $CC$, tutto quello che ti ho detto l'ho pensato adesso, e sono uno studente anch'io, basta mettersi lì con un po' di voglia e determinazione e provare, poi ti si dà una mano se proprio non riesci. e se per caso sbagli pazienza, anzi si impara meglio.
prova un po' a pensare perchè un sottocampo di $CC$ deve essere infinito.
ti dò un aiuto, magari non leggere subito:
Ho pensato questo:
Supponiamo per assurdo che $S$ non sia contenuto in $K$. Essendo $S$ un semplice insieme e non un campo, esso non contiene tutti gli inversi dei suoi elementi quindi esisterà $s in S$ e $s notin K$ tale che $s^-1 notin S$ e $s^-1 notin K$ di conseguenza $s^-1 notin K uu S$ che perciò non può essere un campo.
Quindi $S sub K$ affinchè $K uu S$ sia un campo.
E' un ragionamento che regge?
Grazie ancora
Supponiamo per assurdo che $S$ non sia contenuto in $K$. Essendo $S$ un semplice insieme e non un campo, esso non contiene tutti gli inversi dei suoi elementi quindi esisterà $s in S$ e $s notin K$ tale che $s^-1 notin S$ e $s^-1 notin K$ di conseguenza $s^-1 notin K uu S$ che perciò non può essere un campo.
Quindi $S sub K$ affinchè $K uu S$ sia un campo.
E' un ragionamento che regge?
Grazie ancora
"manuxy84":Questo è falso, per esempio l'insieme [tex]\{1\} \subseteq \mathbb{Q}[/tex] non è un campo e contiene gli inversi di tutti i suoi elementi.
Essendo $S$ un semplice insieme e non un campo, esso non contiene tutti gli inversi dei suoi elementi
L'idea giusta è quella che ti consigliava blackbishop: prendi [tex]s \in S-K[/tex]. Se [tex]S \cup K[/tex] è un campo allora in particolare contiene [tex]s+1[/tex], [tex]s+2[/tex], eccetera. Questo dovrebbe suggerirti qualcosa.
mi sento un po' idiota, ma quello che mi scrivete non mi suggerisce niente...
Forse $s+1$, $s+2$ ecc.. non appartengono nè ad $S$ nè a $K$ quindi non appartengono ad $S uu K$?
Se banalmente mi faccio un esempio concreto con $K=QQ$ e $S={2+3i, 4+6i}$ capisco da me che preso $s=2+3i$ ovvero $s in S-K$ ottengo che $s+1=3+3i$ o che $s+2=4+3i$ non appartengono a $K uu S$, ma da qui a dimostrarlo mi manca qualcosa...
Forse $s+1$, $s+2$ ecc.. non appartengono nè ad $S$ nè a $K$ quindi non appartengono ad $S uu K$?
Se banalmente mi faccio un esempio concreto con $K=QQ$ e $S={2+3i, 4+6i}$ capisco da me che preso $s=2+3i$ ovvero $s in S-K$ ottengo che $s+1=3+3i$ o che $s+2=4+3i$ non appartengono a $K uu S$, ma da qui a dimostrarlo mi manca qualcosa...
Se [tex]S \cup K[/tex] è un campo allora [tex]s+1,s+2,...[/tex] appartengono a [tex]S \cup K[/tex]. Fin qua ci sei?
Prendi [tex]s+1[/tex]. Siccome sta in [tex]S \cup K[/tex], sta in S oppure in K.
Ma non può stare in K, altrimenti siccome [tex]1 \in K[/tex] si avrebbe [tex]K \ni (s+1)-1 = s[/tex], ma per ipotesi [tex]s \not \in K[/tex].
Questo ti suggerisce qualcosa?
Prendi [tex]s+1[/tex]. Siccome sta in [tex]S \cup K[/tex], sta in S oppure in K.
Ma non può stare in K, altrimenti siccome [tex]1 \in K[/tex] si avrebbe [tex]K \ni (s+1)-1 = s[/tex], ma per ipotesi [tex]s \not \in K[/tex].
Questo ti suggerisce qualcosa?
Se $s+1$ non appartiene a $K$ allora dovrebbe appartenere ad $S$ per stare in $K uu S$.
Questo deve valere per $s+1$,$s+2$,... e tutti gli infiniti elementi che sono somma di $s$ e di un elemento di $K$, e questo significa che $S$ dovrebbe contenere infiniti elementi, e il che è impossibile essendo per ipotesi $S$ un insieme finito.
Dunque esistono elementi di $K uu S$ la cui somma non appartiene a $K uu S$ che di conseguenza non può essere un campo. Questo è assurdo essendo $K uu S$ un campo per ipotesi, quindi $S sub K$....
Temo che non sia completo nemmeno così...
Questo deve valere per $s+1$,$s+2$,... e tutti gli infiniti elementi che sono somma di $s$ e di un elemento di $K$, e questo significa che $S$ dovrebbe contenere infiniti elementi, e il che è impossibile essendo per ipotesi $S$ un insieme finito.
Dunque esistono elementi di $K uu S$ la cui somma non appartiene a $K uu S$ che di conseguenza non può essere un campo. Questo è assurdo essendo $K uu S$ un campo per ipotesi, quindi $S sub K$....
Temo che non sia completo nemmeno così...
"manuxy84":Esatto. Ferma qui.
Se $s+1$ non appartiene a $K$ allora dovrebbe appartenere ad $S$ per stare in $K uu S$.
Questo deve valere per $s+1$,$s+2$,... e tutti gli infiniti elementi che sono somma di $s$ e di un elemento di $K$, e questo significa che $S$ dovrebbe contenere infiniti elementi, e il che è impossibile essendo per ipotesi $S$ un insieme finito.
Questo cosa contraddice? Contraddice l'ipotesi che esista [tex]s \in S-K[/tex].
Quindi non esistono [tex]s \in S-K[/tex].
In altre parole, S è contenuto in K.
Bene, un po' in ritardo ma ci sono arrivata...
Grazie a tutti per la pazienza, per la tanta pazienza...
Grazie a tutti per la pazienza, per la tanta pazienza...
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