Doppia dimostrazione su gruppo di ordine pari
Il problema è dimostrare che se un gruppo $G$ ha ordine pari allora esiste in $G$ un elemento $a$ di ordine $2$.
In un gruppo possiamo avere che tutti gli elementi coincidono con il loro inverso, in tal caso hanno tutti ordine $2$.
Se ne trovassimo uno che non coincide con il proprio inverso, essendo quest'ultimo unico per ogni elemento, dovremmo avere in $G$ almeno un altro elemento che non coincide con il proprio inverso.
Così gli elementi che non coincidono con il proprio inverso devono forzatamente essere sempre in numero pari.
Ora, se per le ipotesi l'ordine del gruppo è pari, sottraendo dal totale degli elementi di $G$ il numero degli elementi che non coincidono col proprio inverso otteniamo ancora un numero pari di elementi che coincidono col proprio inverso.
Tra questi ultimi abbiamo certamente l'identità e quindi essendo $2$ il più piccolo naturale pari ne deve avanzare almeno uno che coincide con il proprio inverso e che quindi ha ordine $2$.
Prima di arrivare a questo ragionamento, secondo il mio parere abbastanza convincente, avevo preso un'altra strada più tortuosa.
Considero $G$ un gruppo ed $a$ un generico elemento di $G$. Essendo $G$ finito è legittimo considerare il sottogruppo ciclico finito generato dall'elemento $a^2$:
$(a^2)={(a^2)^0,(a^2),(a^2)^2,...,(a^2)^{n-1}}$ dove ogni elemento è della forma $(a^2)^k=a^{2k}$ per $k \in ZZ$
Poi considero il sottogruppo ciclico finito di $(a^2)$ generato dall'elemento $(a^2)^2=a^4$:
$(a^4)={(a^4)^0,(a^4),(a^4)^2,...,(a^4)^{m-1}}$ dove ogni elemento è della forma $(a^4)^k=a^{4k}$ per $k \in ZZ$
Entrambi sono sottogruppi di $G$ ed entrambi condividono almeno l'elemento identico:
$(a^2) \cap (a^4)={e,...}$
Ma tutti gli elementi di entrambi i sottogruppi sono della forma $a^{2k}=(a^k)^2$ oppure $a^{4k}=(a^{2k})^2$ ed essendo presente tra questi anche l'elemento identico allora esiste certamente un elemento di ordine $2$.
Il problema è che una volta arrivato qui mi sono accorto di non aver usato l'ipotesi che $G$ è di ordine pari !!!
Mi aiutate a comprendere dove sta l'errore ?
Grazie mille.
In un gruppo possiamo avere che tutti gli elementi coincidono con il loro inverso, in tal caso hanno tutti ordine $2$.
Se ne trovassimo uno che non coincide con il proprio inverso, essendo quest'ultimo unico per ogni elemento, dovremmo avere in $G$ almeno un altro elemento che non coincide con il proprio inverso.
Così gli elementi che non coincidono con il proprio inverso devono forzatamente essere sempre in numero pari.
Ora, se per le ipotesi l'ordine del gruppo è pari, sottraendo dal totale degli elementi di $G$ il numero degli elementi che non coincidono col proprio inverso otteniamo ancora un numero pari di elementi che coincidono col proprio inverso.
Tra questi ultimi abbiamo certamente l'identità e quindi essendo $2$ il più piccolo naturale pari ne deve avanzare almeno uno che coincide con il proprio inverso e che quindi ha ordine $2$.
Prima di arrivare a questo ragionamento, secondo il mio parere abbastanza convincente, avevo preso un'altra strada più tortuosa.
Considero $G$ un gruppo ed $a$ un generico elemento di $G$. Essendo $G$ finito è legittimo considerare il sottogruppo ciclico finito generato dall'elemento $a^2$:
$(a^2)={(a^2)^0,(a^2),(a^2)^2,...,(a^2)^{n-1}}$ dove ogni elemento è della forma $(a^2)^k=a^{2k}$ per $k \in ZZ$
Poi considero il sottogruppo ciclico finito di $(a^2)$ generato dall'elemento $(a^2)^2=a^4$:
$(a^4)={(a^4)^0,(a^4),(a^4)^2,...,(a^4)^{m-1}}$ dove ogni elemento è della forma $(a^4)^k=a^{4k}$ per $k \in ZZ$
Entrambi sono sottogruppi di $G$ ed entrambi condividono almeno l'elemento identico:
$(a^2) \cap (a^4)={e,...}$
Ma tutti gli elementi di entrambi i sottogruppi sono della forma $a^{2k}=(a^k)^2$ oppure $a^{4k}=(a^{2k})^2$ ed essendo presente tra questi anche l'elemento identico allora esiste certamente un elemento di ordine $2$.
Il problema è che una volta arrivato qui mi sono accorto di non aver usato l'ipotesi che $G$ è di ordine pari !!!
Mi aiutate a comprendere dove sta l'errore ?
Grazie mille.
Risposte
Approfitto per fare un up e provare a sciogliere un altro dubbio.
Volendo provare che se in $G$ gruppo abeliano esistono due elementi di ordine $m$ e $n$ allora esiste un elemento il cui ordine è il $m.c.m.(m,n)$ ho provato in questa maniera:
$a,b \in G$ e $a^m=e, b^n=e$
Sia $k=m.c.m.(m,n)$, allora $k=mq=np'$ per opportuni $q,q' \in ZZ$.
Considero ora l'elemento $(ab) \in G$.
Ho $(ab)^k=(ab)(ab)...(ab)$ $k$ volte. Sfruttando l'ipotesi che $G$ è abeliano posso scrivere
$(ab)^k=a^kb^k=(a^m)^q(b^n)^{q'}=e$.
Pertanto $(ab)$ è l'elemento cercato.
Ora, pur non avendo dubbi che $(ab)^k=e$ mi chiedo se con tale dimostrazione posso essere certo che detto $k$ sia davvero il più piccolo intero con questa proprietà !
Volendo provare che se in $G$ gruppo abeliano esistono due elementi di ordine $m$ e $n$ allora esiste un elemento il cui ordine è il $m.c.m.(m,n)$ ho provato in questa maniera:
$a,b \in G$ e $a^m=e, b^n=e$
Sia $k=m.c.m.(m,n)$, allora $k=mq=np'$ per opportuni $q,q' \in ZZ$.
Considero ora l'elemento $(ab) \in G$.
Ho $(ab)^k=(ab)(ab)...(ab)$ $k$ volte. Sfruttando l'ipotesi che $G$ è abeliano posso scrivere
$(ab)^k=a^kb^k=(a^m)^q(b^n)^{q'}=e$.
Pertanto $(ab)$ è l'elemento cercato.
Ora, pur non avendo dubbi che $(ab)^k=e$ mi chiedo se con tale dimostrazione posso essere certo che detto $k$ sia davvero il più piccolo intero con questa proprietà !
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