Dominio euclideo e dominio a ideali principali

[pat871]

Come dimostro che ogni dominio euclideo è anche un dominio a ideali principali?
Io ho fatto così:
suppongo che I sia un ideale di R.
Quello che voglio dimostrare è che $I = (a)$, per un certo $a in R$.
Scelgo la norma $N$ del dominio euclideo, per cui $N(a)$ minimalizza tutti gli elementi non nulli di I, ovvero $N(a) < N(b)$, $forall b in I - {0}$.
Adesso ogni elemento di I, supponiamo $s in I$, può essere espresso come:
$s = q*b + a$, per un certo $q in R$,
da cui concludo che $a in I$, e quindi $I = (a)$.
È giusto?

[rubik2]

io non capisco bene quando dici "scelgo la norma..." e di conseguenza il resto. io ne conoscevo un'altra ma questo non esclude che la tu sia giusta, se spieghi un po' meglio provo a pensarci su. ciao

[Studente Anonimo]

"pat87":Come dimostro che ogni dominio euclideo è anche un dominio a ideali principali?
Io ho fatto così:
suppongo che I sia un ideale di R.
Quello che voglio dimostrare è che $I = (a)$, per un certo $a in R$.
Scelgo la norma $N$ del dominio euclideo, per cui $N(a)$ minimalizza tutti gli elementi non nulli di I, ovvero $N(a) < N(b)$, $forall b in I - {0}$.
Adesso ogni elemento di I, supponiamo $s in I$, può essere espresso come:
$s = q*b + a$, per un certo $q in R$,
da cui concludo che $a in I$, e quindi $I = (a)$.
È giusto?

Io vedo un po' di confusione

Cosa vuol dire che scegli la norma N? La norma sarà fissata a priori in R, no?

Direi $N(a) le N(b)$. Se metti la disuguaglianza stretta le cose non funzionano.

Poi non ho capito se supponi fin dall'inizio che $a in I$ oppure no. Parrebbe di no dato che nell'ultimo tuo passaggio deduci che $a in I$ e quindi (?) $I=(a)$.

E poi l'analogo della divisione euclidea non funziona come dici tu: se dividi s per a allora esistono q ed r in R non nulli tali che $s=aq+r$ e $r=0$ oppure $N(r)
Cià..

[pat871]

"Martino":
Cosa vuol dire che scegli la norma N? La norma sarà fissata a priori in R, no?

Ma scusa in un dominio euclideo puoi avere anche più norme...non puoi fissare una norma a priori....

Forse ho fatto un paio di passaggi errati, ma allora come sarebbe una giusta dimostrazione?

[Studente Anonimo]

"pat87":Ma scusa in un dominio euclideo puoi avere anche più norme...non puoi fissare una norma a priori....

Puoi avere molte norme, e di conseguenza ne puoi scegliere una. Perché non puoi fissare una norma a priori?
Il fatto è che hai detto:

Scelgo la norma $N$ del dominio euclideo, per cui $N(a)$ minimalizza tutti gli elementi non nulli di I, ovvero $N(a)

Come fai a dire che una tale N esiste? E, la scegli fissato a? O stai scegliendo anche a?

Forse ho fatto un paio di passaggi errati, ma allora come sarebbe una giusta dimostrazione?

Io direi: fissiamo una norma N su R, e un ideale I di R. Scegliamo $0 ne a in I$ tale che $N(a) le N(b)$ per ogni $0 ne b in I$. Un tale a esiste perché l'insieme $\{N(x)\ |\ 0 ne x in I\}$ è un sottoinsieme di $NN$ e quindi ammette minimo. Ora dato $b in I$ non nullo, se facciamo la divisione per a otteniamo $b=qa+r$ con $r=0$ oppure $N(r)

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[pat871]

Ok, più o meno ho capito...
Un'ultima cosa:
adesso abbiamo dimostrato che per la data norma N che abbiamo fissato, esiste una a per cui $I = (a)$. Questo implica allora che ogni elemento dell'anello $a in R$ forma un ideale principale? E come?

[vict85]

"pat87":Ok, più o meno ho capito...
Un'ultima cosa:
adesso abbiamo dimostrato che per la data norma N che abbiamo fissato, esiste una a per cui $I = (a)$. Questo implica allora che ogni elemento dell'anello $a in R$ forma un ideale principale? E come?

Ma scrivi su yahoo! answer ?

In ogni caso se $AA I sub R, EE a$ tale che $I = (a)$ allora ogni ideale è principale.
Semplicemente $(a)$ è un ideale di $R$.

[pat871]

Ci scrivevo...Perché?

Cmq grazie mille a tutti, credo di avere capito! Questi argomenti sono terribili, ci impiego sempre una vita a capirli!

[vict85]

Niente... ci scrivevo anch'io e mi ricordavo il nome.

P.S: vittoriopatriarca