Dominio Euclideo
La definizione di dominio euclideo che conosco io e' la seguente:
Un dominio di integrita' D si dice dominio euclideo se esiste una funzione $\phi: D\setminus{0}\rightarrow N$ dove $N$ e' l'insieme dei numeri naturali uniti con lo zero, tale che $\forall a,b\in D$ si ha che $\exists q,r\in D$ tali che $a=q\cdot b+r$ con $\phi(r)<\phi(b)$ oppure $r=0$.
Mi rivolgo a chi de voi si intende di algebra per la seguente questione:
in internet ho trovato alcuni siti che sostengono che l'anello dei polinomi K[x] dove K e' un campo e' un dominio euclideo con $\phi(f)$=grado(f).
Ma se faccio la divisione di $x^2$ per $x+1$ ottengo $x^2=x\cdot (x+1)-x$.
Quindi $b=x+1$, $r=-x$ e non e' vero che grado (x+1)
Se sbaglio, dove sbaglio?
Oppure non sbaglio? E in tal caso qualcuno di voi sa se e' invece possibile definire una funzione per cui K[x] sia un dominio euclideo?
Grazie.
Un dominio di integrita' D si dice dominio euclideo se esiste una funzione $\phi: D\setminus{0}\rightarrow N$ dove $N$ e' l'insieme dei numeri naturali uniti con lo zero, tale che $\forall a,b\in D$ si ha che $\exists q,r\in D$ tali che $a=q\cdot b+r$ con $\phi(r)<\phi(b)$ oppure $r=0$.
Mi rivolgo a chi de voi si intende di algebra per la seguente questione:
in internet ho trovato alcuni siti che sostengono che l'anello dei polinomi K[x] dove K e' un campo e' un dominio euclideo con $\phi(f)$=grado(f).
Ma se faccio la divisione di $x^2$ per $x+1$ ottengo $x^2=x\cdot (x+1)-x$.
Quindi $b=x+1$, $r=-x$ e non e' vero che grado (x+1)
Se sbaglio, dove sbaglio?
Oppure non sbaglio? E in tal caso qualcuno di voi sa se e' invece possibile definire una funzione per cui K[x] sia un dominio euclideo?
Grazie.
Risposte
$x^2=(x-1)(x+1)+1$
Come dice giustamente Gi8, la divisione prosegue: il grado del resto ($-x$) è 1, quindi puoi ancora dividere per $x+1$ (che è ancora di primo grado)...
Ma certo!!!
Grazie mille.
Mi stavo perdendo in un bicchier d'acqua.
Grazie ancora per il vostro intervento.
Ciao
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Mi stavo perdendo in un bicchier d'acqua.
Grazie ancora per il vostro intervento.
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