Dominio ad ideali principali (PID)
Ciao a tutti. Come posso dimostrare che se [tex]K[/tex] è un campo allora [tex]K[x][/tex] è un dominio ad ideali principali?
Risposte
"Paolo90":
$A " campo" => A[X] " PID "$
Dim. Prendiamo un ideale qualsiasi $mathcal I$ di $A[X]$. Vogliamo mostrare che esso è principale.
A meno che l'ideale sia quello banale (nullo), si ha che in $mathcal I$ ci sono degli $a(x)$: sia $p(x) in mathcal I$ un polinomio non nullo di grado minimo. Mostriamo che $mathcal I = (p(x))$.
Proviamo la doppia inclusione: $p(x) in I =>(p(x)) subseteq I$ per stabilità.
L'inclusione opposta è un po' più difficile: sia $a(x)$ un elemento di $mathcal I$. Facciamo la divisione di $a(x)$ per $p(x)$: si ottiene $a(x)=p(x)q(x)+r(x)$ con $0<="deg " r(x)< "deg " b(x)$. Da cui: $r(x)=a(x)-p(x)q(x) in mathcal I$ sempre per stabilità: dunque abbiamo un elemento di $mathcal I$ che ha grado minore del minimo: si ha che $r(x) equiv 0$, perchè se non fosse il polinomio identicamente nullo avrei trovato un polinomio non nullo di grado minimo in $mathcal I$ (e ciò contrasta con la minimalità di $p(x)$). Quindi $a(x)=p(x)q(x) in (p(x))$. Da cui infine $I subseteq (p(x))$.
Grazie per il riferimento
..ma quando dici "per stabilità" cosa intendi?
"aleio2":
Grazie per il riferimento
Prego, figurati.
Una struttura è detta stabile rispetto ad una operazione se il composto di due elementi qualsiasi del supporto è ancora un elemento dell'insieme.
Si dice anche che l'insieme è "chiuso" rispetto all'operazione.
Esempio: l'addizione in $ZZ$, l'operazione di un qualsiasi gruppo.
Esempio di struttura non stabile: $NN, -$: $NN$ non è chiuso rispetto alla sottrazione: infatti, $4-5 notin NN$.
Se c'è altro che non ti torna fammi sapere.
Grazie, avevo sempre sentito parlare di chiusura e mai di stabilità rispetto alle operazioni quindi non mi tornava il discorso..
P.s. ti avevo ringraziato per il chiarimento, ora ti ringrazio per la dimostrazione!!
Figurati, è sempre un piacere.
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