Dominio ad ideali principali
Salve ragazzi!
Potreste aiutarmi a capire se è vero che presi 2 domini ad ideali principali $P$ e $Q$ anche $P$x$Q$ è a sua volta un dominio ad ideali principali? e perchè?
Inoltre $ZZ[x]$ non è dominio ad ideali principali perchè $ZZ$ non è un corpo: si può semplicemente trarre così questa conclusione?
Grazie
Potreste aiutarmi a capire se è vero che presi 2 domini ad ideali principali $P$ e $Q$ anche $P$x$Q$ è a sua volta un dominio ad ideali principali? e perchè?
Inoltre $ZZ[x]$ non è dominio ad ideali principali perchè $ZZ$ non è un corpo: si può semplicemente trarre così questa conclusione?
Grazie
Risposte
E' un fatto generale che, se $A,B$ sono anelli commutativi con unita', allora gli ideali di $A \times B$ sono della forma $I\times J$ con $I$ ideale di $A$ e $J$ ideale di $B$. Facendo attenzione, si puo' indebolire l'ipotesi di commutativita'. Questa cosa e' facile da dimostrare e da questa si otterra' che se $P,Q$ sono PID anche $P\times Q$ e' un PID. Ti suggerisco di scriverti la dimostrazione, sia dell'osservazione sugli ideali di un prodotto sia su come usare tale osservazione per dedurre il risultato che vuoi dimostrare.
Per quanto riguarda la seconda parte, non e' difficile dimostrare che l'ideale $(2,x)$ di $\mathbb{Z}[x]$ non e' principale. Non ho controllato i dettagli ma ho l'impressione che si possa "mimare" questo esempio per osservare in generale che, se $D$ e' un anello che non e' un campo (quindi ha almeno un elemento non nullo che non e' invertibile) allora $D[x]$ non e' un dominio a ideali principali. Anche in questo caso ti consiglio di provare a scriverti la dimostrazione.
Per quanto riguarda la seconda parte, non e' difficile dimostrare che l'ideale $(2,x)$ di $\mathbb{Z}[x]$ non e' principale. Non ho controllato i dettagli ma ho l'impressione che si possa "mimare" questo esempio per osservare in generale che, se $D$ e' un anello che non e' un campo (quindi ha almeno un elemento non nullo che non e' invertibile) allora $D[x]$ non e' un dominio a ideali principali. Anche in questo caso ti consiglio di provare a scriverti la dimostrazione.
$ A \times B $Quindi dovrei dimostrare che anche per gli ideali il prodotto di due ideali è un ideale e da ciò trarre conclusioni che il prodotto di due PID è un PID?
Cioè: $ A \times B $ $\Rightarrow$ $ I \times J $ con $I$ e $J$ ideali rispettivamente di $A$ e $B$ $\Rightarrow$ $ P\times Q $ con $P$ e $Q$ PID è un PID. Così?
Cioè: $ A \times B $ $\Rightarrow$ $ I \times J $ con $I$ e $J$ ideali rispettivamente di $A$ e $B$ $\Rightarrow$ $ P\times Q $ con $P$ e $Q$ PID è un PID. Così?
La serie di implicazioni che hai scritto non ha particolarmente senso.
Ci sono due cose da dimostrare. La prima cosa e' un'equivalenza ed e' il fatto seguente: dati due anelli (facciamo commutativi per semplicita') $A,B$ e un sottoinsieme $S \subseteq A \times B$ si ha che $S$ e' un ideale se e solo se $S = I \times J$ con $I$ ideale di $A$ e $J$ ideale di $B$. Un verso del se e solo se e' facile facile; per l'altro verso bisogna fare un conticino.
Una volta dimostrato questo, vogliamo applicarlo al caso in cui $A,B$ siano PID. E' immediato osservare che il prodotto di due ideali principali e' un ideale principale, e l'equivalenza che abbiamo dimostrato sopra ci garantisce che tutti gli ideali di $A\times B$ sono di questa forma.
Ci sono due cose da dimostrare. La prima cosa e' un'equivalenza ed e' il fatto seguente: dati due anelli (facciamo commutativi per semplicita') $A,B$ e un sottoinsieme $S \subseteq A \times B$ si ha che $S$ e' un ideale se e solo se $S = I \times J$ con $I$ ideale di $A$ e $J$ ideale di $B$. Un verso del se e solo se e' facile facile; per l'altro verso bisogna fare un conticino.
Una volta dimostrato questo, vogliamo applicarlo al caso in cui $A,B$ siano PID. E' immediato osservare che il prodotto di due ideali principali e' un ideale principale, e l'equivalenza che abbiamo dimostrato sopra ci garantisce che tutti gli ideali di $A\times B$ sono di questa forma.
Implicazione da ($ S = I \times J $ con $I$ ideale di $A$ e $J$ ideale di $B$ ) $\Rightarrow$ $S$ ideale OK!
L'altra implicazione, come posso "risolvere" nella miglior maniera? Grazie
L'altra implicazione, come posso "risolvere" nella miglior maniera? Grazie
Prendi $S$ ideale di $A\times B$. Chiama $I = \{a \in A : (a,0) \in S\}$ e $J = \{b \in B : (0,b)\in S\}$. Prova a dimostrare che $I,J$ sono ideale di $A,B$ rispettivamente e che $S = I \times J$.
Scusate, magari mi sbaglio (è tardino). A me sembra che ci sia un problema di fondo non indifferente.
Se $A$ e $B$ sono domini (ad esempio, ad ideali principali) allora non vale in generale che $A\times B$ è un dominio!
Consideriamo $\mathbb Z\times\mathbb Z$. È un prodotto di due PID, ma è ben lontano dall'essere PID. Infatti, $(1,0)\cdot(0,1)=(0,0)$. Cioè ci sono 0-divisori non banali.
Se $A$ e $B$ sono domini (ad esempio, ad ideali principali) allora non vale in generale che $A\times B$ è un dominio!
Consideriamo $\mathbb Z\times\mathbb Z$. È un prodotto di due PID, ma è ben lontano dall'essere PID. Infatti, $(1,0)\cdot(0,1)=(0,0)$. Cioè ci sono 0-divisori non banali.
Questa e' una buona obiezione a cui non avevo fatto caso.
Si puo' dunque dedurre, usando l'argomento di cui parlavo, che se $A,B$ sono anelli a ideali principali (credo che la definizione stia in piedi senza problemi), allora $A\times B$ e' un anello a ideali principali. Sono d'accordo che $A \times B$ non sia un dominio.
Chiedo scusa per la vista.
Si puo' dunque dedurre, usando l'argomento di cui parlavo, che se $A,B$ sono anelli a ideali principali (credo che la definizione stia in piedi senza problemi), allora $A\times B$ e' un anello a ideali principali. Sono d'accordo che $A \times B$ non sia un dominio.
Chiedo scusa per la vista.
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