Domini di Dedekind

[bezout]

Ciao a tutti ho un problema:
Non riesco a dimostrare she un sopranello di un dominio di Dedekind è ancora un dominio di Dedekind(ci riesco solo se il sopranello è locale).
Grazie a tutti

[Studente Anonimo]

Ciao.

Ma non è nemmeno vero: per esempio $ZZ$ è un dominio di Dedekind mentre $ZZ[sqrt{5}]$ non lo è (non essendo interamente chiuso: considera per esempio il polinomio monico $x^2+x-1$).

Forse per "sopranello" intendi la chiusura intera in un'estensione finita del campo delle frazioni?
(non si sa mai )

[bezout]

Per sovranello intendo questo:
Sia D un dominio con campo dei quozienti=K,T si dice un sovranello di D se D$sube$T$sube$K.
Però nell'esempio che mi hai fornito qz($ZZ[sqrt(5)]$)=$QQ(sqrt(5))$ mentre qz($ZZ$)=$QQ$.

[Studente Anonimo]

Ok, ora ho capito la domanda. Non mi sembra immediato, ci penserò.
Ciao.

[Studente Anonimo]

Ora che ci penso...
se tu sai dimostrare il fatto quando $T$ è locale, allora puoi localizzare negli ideali primi e usando i seguenti fatti:

- un dominio di Dedekind locale è un DVR;
- un dominio noetheriano tale che i localizzati negli ideali primi sono DVR è un dominio di Dedekind (e viceversa);

ti sei ridotto a mostrare che $T$ è noetheriano.