Domini a fattorizzazione unica

[Fracchia1]

Buonasera a tutti.

[Pappappero1]

In questo genere di dimostrazioni una strategia e' quella di usare, ad esempio (1) per dimostrare (2), usare (2) per dimostrare (3) e usare (3) per dimostrare (1). Questo dimostra che (1),(2),(3) sono equivalenti.

Ora, (1) implica (2) e' ovvio.

Per le altre due implicazioni bisogna lavorare un po' e non ho una dimostrazione veloce da buttare giu'. L'idea di base e' che basta saper fattorizzare i numeratori, perche' i denominatori sono invertibili.

Il fatto che, se $A$ e' a fattorizzazione unica, allora tutti i localizzati lo sono, e' facile da dimostrare, proprio per questo motivo.

Tuttavia, quale potrebbe essere un esempio di un dominio che non e' a fattorizzazione unica ma e' localmente a fattorizzazione unica?

[Fracchia1]

Ora, (1) implica (2) e' ovvio.

[Pappappero1]

Eh..io avevo provato a pensare a qualcosa che viene da teoria dei numeri facile. Tipo ci sono una marea di anelli $\ZZ [i\sqrt{p}]$ che non sono UFD, ma che somigliano abbastanza a UFD (sono domini di Dedekind appunto). Pero' e' tanto che non vedo queste cose e non mi ricordo (o forse non ho mai saputo) come sono fatti gli ideali primi li' dentro.