Domande sulla somma e sul prodotto in $ZZ$ e in $QQ$
Dati $x=[(a,b)]$ e $y=[(c,d)]$ , in $ZZ$ la somma è $[(a+c,b+d)]$ e il prodotto $[(ac+bd,ad+bc)]$ .
1) Come si fanno la somma e il prodotto nell'insieme $ZZ$ (interi relativi) senza cercare di "ricordare a memoria" questo procedimento, e quindi usando la logica?
2) Nell'insieme dei numeri relativi $ZZ$, se ho un numero $x=[(a,b)]$ , a cosa devono corrispondere $a$ e $b$ se ad esempio $x=3$?
e se $x=-3$?
Vorrei sapere le stesse cose delle mie due domande anche per quanto riguarda $QQ$ .
Grazie in anticipo.
1) Come si fanno la somma e il prodotto nell'insieme $ZZ$ (interi relativi) senza cercare di "ricordare a memoria" questo procedimento, e quindi usando la logica?
2) Nell'insieme dei numeri relativi $ZZ$, se ho un numero $x=[(a,b)]$ , a cosa devono corrispondere $a$ e $b$ se ad esempio $x=3$?
e se $x=-3$?
Vorrei sapere le stesse cose delle mie due domande anche per quanto riguarda $QQ$ .
Grazie in anticipo.
Risposte
[mod="gugo82"]Sposto in Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta.[/mod]
Per il resto, credo tu ti riferisca alla costruzione di [tex]$\mathbb{Z}$[/tex] a partire da [tex]$\mathbb{N}$[/tex] fatta introducendo una relazione di equivalenza in [tex]$\mathbb{N}^2$[/tex], no?
Spero vorrai chiarire questo punto.
Se è così, per quanto riguarda la 2), la classe d'equivalenza che individua [tex]$3\in \mathbb{Z}$[/tex] è quella generata dalla coppia [tex]$(3,0)\in \mathbb{N}^2$[/tex], ossia:
[tex]$[(3,0)]=\{ (3+n,n)\}_{n\in \mathbb{N}}$[/tex];
analogamente la classe d'equivalenza che individua [tex]$-3\in \mathbb{Z}$[/tex] è quella generata dalla coppia [tex]$(0,3)\in \mathbb{N}^2$[/tex], ossia:
[tex]$[(0,3)]=\{ (n,3+n)\}_{n\in \mathbb{N}}$[/tex].
Per il resto, credo tu ti riferisca alla costruzione di [tex]$\mathbb{Z}$[/tex] a partire da [tex]$\mathbb{N}$[/tex] fatta introducendo una relazione di equivalenza in [tex]$\mathbb{N}^2$[/tex], no?
Spero vorrai chiarire questo punto.
Se è così, per quanto riguarda la 2), la classe d'equivalenza che individua [tex]$3\in \mathbb{Z}$[/tex] è quella generata dalla coppia [tex]$(3,0)\in \mathbb{N}^2$[/tex], ossia:
[tex]$[(3,0)]=\{ (3+n,n)\}_{n\in \mathbb{N}}$[/tex];
analogamente la classe d'equivalenza che individua [tex]$-3\in \mathbb{Z}$[/tex] è quella generata dalla coppia [tex]$(0,3)\in \mathbb{N}^2$[/tex], ossia:
[tex]$[(0,3)]=\{ (n,3+n)\}_{n\in \mathbb{N}}$[/tex].
"gugo82":
Per il resto, credo tu ti riferisca alla costruzione di [tex]$\mathbb{Z}$[/tex] a partire da [tex]$\mathbb{N}$[/tex] fatta introducendo una relazione di equivalenza in [tex]$\mathbb{N}^2$[/tex], no?
si esatto, mi riferisco proprio a questo.
Riguardo alla 2), in pratica i positivi stanno a sinistra e i negativi a destra?
Vedila così.
Se vuoi rappresentare [tex]$k\in \mathbb{Z}$[/tex] allora devi scegliere [tex]$(a,b)\in \mathbb{N}$[/tex] in modo che:
[tex]$\begin{cases} \text{$a\geq b$ e $a-b =k$ in $\mathbb{N}$} &\text{, se $k\geq 0$} \\ \text{$b\geq a$ e $b-a = -k$ in $\mathbb{N}$} &\text{, se $k<0$}\end{cases}$[/tex];
quindi, ad esempio, per rappresentare [tex]$-5\in \mathbb{Z}$[/tex] puoi prendere [tex]$(0,5)$[/tex] o [tex]$(10,15)$[/tex] in [tex]$\mathbb{N}^2$[/tex] (che generano la stessa classe) ed, analogamente, se vuoi rappresentare [tex]$8\in \mathbb{Z}$[/tex] puoi prendere [tex]$(8,0)$[/tex] o [tex]$(1230, 1222)$[/tex] in [tex]$\mathbb{N}^2$[/tex] (che generano la stessa classe).
Se vuoi rappresentare [tex]$k\in \mathbb{Z}$[/tex] allora devi scegliere [tex]$(a,b)\in \mathbb{N}$[/tex] in modo che:
[tex]$\begin{cases} \text{$a\geq b$ e $a-b =k$ in $\mathbb{N}$} &\text{, se $k\geq 0$} \\ \text{$b\geq a$ e $b-a = -k$ in $\mathbb{N}$} &\text{, se $k<0$}\end{cases}$[/tex];
quindi, ad esempio, per rappresentare [tex]$-5\in \mathbb{Z}$[/tex] puoi prendere [tex]$(0,5)$[/tex] o [tex]$(10,15)$[/tex] in [tex]$\mathbb{N}^2$[/tex] (che generano la stessa classe) ed, analogamente, se vuoi rappresentare [tex]$8\in \mathbb{Z}$[/tex] puoi prendere [tex]$(8,0)$[/tex] o [tex]$(1230, 1222)$[/tex] in [tex]$\mathbb{N}^2$[/tex] (che generano la stessa classe).
Bene, per quanto riguarda la seconda domanda ho capito tutto, grazie ^^. Invece per la 1) ancora non so ancora come posso ricavarmi logicamente la somma e il prodotto di $ZZ$ ...
Beh, che domande... Quella definizione formale è fatta a posta per far in modo che in [tex]$\mathbb{Z}$[/tex] valgano le regole di moltiplicazione che conosci dalle scuole medie.
Ad esempio, [tex]$(-2)(3) =-6$[/tex], [tex]$(-4)(-5)=20$[/tex], [tex]$(3)(-11)=-33$[/tex]... Devo continuare?
Ad esempio, [tex]$(-2)(3) =-6$[/tex], [tex]$(-4)(-5)=20$[/tex], [tex]$(3)(-11)=-33$[/tex]... Devo continuare?
"gugo82":
Se vuoi rappresentare [tex]$k\in \mathbb{Z}$[/tex] allora devi scegliere [tex]$(a,b)\in \mathbb{N}$[/tex] in modo che:
[tex]$\begin{cases} \text{$a\geq b$ e $a-b =k$ in $\mathbb{N}$} &\text{, se $k\geq 0$} \\ \text{$b\geq a$ e $b-a = -k$ in $\mathbb{N}$} &\text{, se $k<0$}\end{cases}$[/tex];
Per quanto riguarda $ZZ$ ho capito ^^, invece quali elementi [tex]$(a,b)\in \mathbb{Z}$[/tex] devo prendere se voglio un [tex]$m\in \mathbb{Q}$[/tex] ? Mi piacerebbe un esempio con un "sistema" come quello che hai scritto per $ZZ$ e che ho riportato.
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