Domande sull' Assioma della scelta

[BoG3]

Ciao atutti, vorrei sottoporvi alcun domande che mi sono fatto sull' Assioma della scelta:

Vi riporto i miei appunti:

Assioma della scelta: Per ogni insieme $X$ nonvuoto, esiste una funzione detta funzione della scelta per $X$ così definita: $\phi: 2^X \\ {\emptyset }\to X : P(A)\inA, AA A\in2^X \\{\emptyset}$.

Domanda 1: ok, in pratica mi dici che se ho un inieme non vuoto, se prendo un qulunque suo sottoinieme, anche esso non vuoto, allora ono sicuro di avere una funzione che mi permetta di scegliere un suo elmento ? Sbaglio o e' come dire "se ho un ceto di palline da tennis, sono sicuro di poterle tirare su con uno strumento (che sia il mio braccio, una pinza o qull che è..) a patto che il cesto non sia vuoto."?

Domanda 2: $P(A)$ sta per cosa? l'inieme delle parti di A ? E' come dire che $P(A)$ è un insime di sottoinsiemi di un insime $A$ che gia' a qua volta è un sottoinime tra i possibili insiemi di $X$, ovvereo $2^X$?

Grazie mille a tutti.

[j18eos]

Veramente una funzione di scelta su un insieme non vuoto \(\displaystyle S\) è così definita:
\[
\varphi:X\in P(S)\setminus\{\emptyset\}\to x\in S\mid\varphi(X)=x\in X.
\]
Per oggi, come si suol dire, ho dato quel che dovevo.

Buona notte!