Domande sul concetto di funzione, relazione ed operazione
Salve, stavo studiando sul Pagani-Salsa il capitolo intitolato "spazi euclidei" e mi sono venute in mente alcune domande.
Volevo sapere se quello che dirò è corretto:
1) Dati due insiemi $A$ e $B$ si definisce relazione binaria da $A$ a $B$ un qualunque sottoinsieme del prodotto cartesiano $A X B$. Inoltre, tale relazione dovrà essere definita da una certa proposizione aperta, altrimenti non saprei come costruire tale sottoinsieme di $A X B$ vero?;
2) Dato un solo insieme $A$, si definisce relazione binaria in $A$ un qualunque sottoinsieme di $A^2$ definito da una certa proposizione aperta?;
3) Una funzione binaria da $A$ a $B$ è semplicemente un caso particolare di relazione definita al punto 1) con l'aggiunta di ulteriori particolari condizioni giusto? E ovviamente anche una funzione deve essere definita da una certa proposizione aperta, altrimenti non saprei con quale criterio selezionare gli elementi che vanno a generare la funzione. Quindi, quando io dico "considero la funzione $y=2x$", in realtà dovrei dire: "considero la proposizione aperta $p(x,y): y=2x$ che definisce una certa funzione?
4) Ora, dato un insieme $A$ non vuoto ed una certa proposizione aperta, un qualunque sottoinsieme di $A X A$ (e quindi una relazione binaria) CHE SIA ANCHE FUNZIONE è detta OPERAZIONE UNARIA interna su $A$?
5) Dato un insieme non vuoto $A$, si chiama operazione interna n-aria su $A$ un qualunque sottoinsieme di $A^n X A$ CHE SIA ANCHE FUNZIONE giusto?
Grazie mille
Volevo sapere se quello che dirò è corretto:
1) Dati due insiemi $A$ e $B$ si definisce relazione binaria da $A$ a $B$ un qualunque sottoinsieme del prodotto cartesiano $A X B$. Inoltre, tale relazione dovrà essere definita da una certa proposizione aperta, altrimenti non saprei come costruire tale sottoinsieme di $A X B$ vero?;
2) Dato un solo insieme $A$, si definisce relazione binaria in $A$ un qualunque sottoinsieme di $A^2$ definito da una certa proposizione aperta?;
3) Una funzione binaria da $A$ a $B$ è semplicemente un caso particolare di relazione definita al punto 1) con l'aggiunta di ulteriori particolari condizioni giusto? E ovviamente anche una funzione deve essere definita da una certa proposizione aperta, altrimenti non saprei con quale criterio selezionare gli elementi che vanno a generare la funzione. Quindi, quando io dico "considero la funzione $y=2x$", in realtà dovrei dire: "considero la proposizione aperta $p(x,y): y=2x$ che definisce una certa funzione?
4) Ora, dato un insieme $A$ non vuoto ed una certa proposizione aperta, un qualunque sottoinsieme di $A X A$ (e quindi una relazione binaria) CHE SIA ANCHE FUNZIONE è detta OPERAZIONE UNARIA interna su $A$?
5) Dato un insieme non vuoto $A$, si chiama operazione interna n-aria su $A$ un qualunque sottoinsieme di $A^n X A$ CHE SIA ANCHE FUNZIONE giusto?
Grazie mille
Risposte
1) Dati due insiemi $A$ e $B$ si definisce relazione binaria da $A$ a $B$ un qualunque sottoinsieme del prodotto cartesiano $A X B$. Inoltre, tale relazione dovrà essere definita da una certa proposizione aperta, altrimenti non saprei come costruire tale sottoinsieme di $A X B$ vero?;
No: non è necessario che la parte di \(A \times B\) sia individuata da una proposizione aperta a priori, perché posso anche prendere una qualunque parte di \(A \times B\) ad minchiam (ovviamente nei limiti dell'ad minchiam concesso dalle definizioni degli oggetti tirati in ballo) e dire che questa è individuata dalla proposizione aperta
\[a \in A \text{ è in relazione con } b \in B \text{ se e solo se } \left(a;b\right) \text{ è una delle coppie della parte di } A \times B \text{ scelta }\]
2) Dato un solo insieme $A$, si definisce relazione binaria in $A$ un qualunque sottoinsieme di $A^2$ definito da una certa proposizione aperta?;
La risposta a questa domanda sta nella risposta alla domanda precedente nella quale basta porre \(B=A\).
3) Una funzione binaria da $A$ a $B$ è semplicemente un caso particolare di relazione definita al punto 1) con l'aggiunta di ulteriori particolari condizioni giusto? E ovviamente anche una funzione deve essere definita da una certa proposizione aperta, altrimenti non saprei con quale criterio selezionare gli elementi che vanno a generare la funzione. Quindi, quando io dico "considero la funzione $y=2x$", in realtà dovrei dire: "considero la proposizione aperta $p(x,y): y=2x$ che definisce una certa funzione?
Dati due insiemi \(A\) e \(B\) un'applicazione di \(A\) in \(B\) è relazione di \(A\) in \(B\) tale che per ogni elemento di \(A\) esiste uno ed un solo corrispondente in \(B\). Per quanto riguarda la proposizione aperta resta valido quanto detto in risposta alla prima domanda.
4) Ora, dato un insieme $A$ non vuoto ed una certa proposizione aperta, un qualunque sottoinsieme di $A X A$ (e quindi una relazione binaria) CHE SIA ANCHE FUNZIONE è detta OPERAZIONE UNARIA interna su $A$?
Sì. Resta ancora valido quanto detto a proposito della proposizione aperta in risposta alla prima domanda.
5) Dato un insieme non vuoto $A$, si chiama operazione interna n-aria su $A$ un qualunque sottoinsieme di $A^n X A$ CHE SIA ANCHE FUNZIONE giusto?
Sì.
"WiZaRd":1) Dati due insiemi $A$ e $B$ si definisce relazione binaria da $A$ a $B$ un qualunque sottoinsieme del prodotto cartesiano $A X B$. Inoltre, tale relazione dovrà essere definita da una certa proposizione aperta, altrimenti non saprei come costruire tale sottoinsieme di $A X B$ vero?;
No: non è necessario che la parte di \(A \times B\) sia individuata da una proposizione aperta a priori, perché posso anche prendere una qualunque parte di \(A \times B\) ad minchiam (ovviamente nei limiti dell'ad minchiam concesso dalle definizioni degli oggetti tirati in ballo) e dire che questa è individuata dalla proposizione aperta
\[a \in A \text{ è in relazione con } b \in B \text{ se e solo se } \left(a;b\right) \text{ è una delle coppie della parte di } A \times B \text{ scelta }\]
2) Dato un solo insieme $A$, si definisce relazione binaria in $A$ un qualunque sottoinsieme di $A^2$ definito da una certa proposizione aperta?;
La risposta a questa domanda sta nella risposta alla domanda precedente nella quale basta porre \(B=A\).
3) Una funzione binaria da $A$ a $B$ è semplicemente un caso particolare di relazione definita al punto 1) con l'aggiunta di ulteriori particolari condizioni giusto? E ovviamente anche una funzione deve essere definita da una certa proposizione aperta, altrimenti non saprei con quale criterio selezionare gli elementi che vanno a generare la funzione. Quindi, quando io dico "considero la funzione $y=2x$", in realtà dovrei dire: "considero la proposizione aperta $p(x,y): y=2x$ che definisce una certa funzione?
Dati due insiemi \(A\) e \(B\) un'applicazione di \(A\) in \(B\) è relazione di \(A\) in \(B\) tale che per ogni elemento di \(A\) esiste uno ed un solo corrispondente in \(B\). Per quanto riguarda la proposizione aperta resta valido quanto detto in risposta alla prima domanda.
4) Ora, dato un insieme $A$ non vuoto ed una certa proposizione aperta, un qualunque sottoinsieme di $A X A$ (e quindi una relazione binaria) CHE SIA ANCHE FUNZIONE è detta OPERAZIONE UNARIA interna su $A$?
Sì. Resta ancora valido quanto detto a proposito della proposizione aperta in risposta alla prima domanda.
5) Dato un insieme non vuoto $A$, si chiama operazione interna n-aria su $A$ un qualunque sottoinsieme di $A^n X A$ CHE SIA ANCHE FUNZIONE giusto?
Sì.
Ok, ti ringrazio. Quindi per quanto riguarda la storia della proposizione aperta mi stai dicendo che posso costruire un sottoinsieme $C$ di $A X B$ senza avere bisogno di alcuna proposizione aperta, cioè semplicemente dicendo questo:
"gli elementi di $C$ sono i seguenti (li elenco)".
?
PS=ragionando sul quello che mi hai scritto, devo concludere che è errato dire che una funzione è una particolare relazione giusto? Infatti, nella definizione di relazione non si richiede che OGNI elemento dell'insieme $A$ di partenza sia necessariamente in corrispondenza con un elemento dell'insieme $B$, dunque, se dicessi che una funzione è un caso particolare di relazione potrei implicitamente considerare come funzioni anche quelle relazioni caratterizzate dal fatto che c'è un elemento di $A$ che non è in relazione con nulla, e dunque starei violando la definizione di funzione giusto?
Sì.
"WiZaRd":
Sì.
Ok, grazie
Non avevo letto il PS, però.
Una funzione è una particolare relazione.
Una funzione è una particolare relazione.
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