Domande su insiemi infiniti
Salve.
Sto studiando delle cose sugli insiemi infiniti e leggo questo:
"Siano $X$, $Y$ insiemi (eventualmente infiniti). Se esiste una applicazione iniettiva da $X$ a $Y$, allora diremo che $card(X)<=card(Y)$. Il libro la presenta quasi come una definizione, però penso sia un piccolo teorema o sbaglio?
Volendo dimostrare una tale frase, ho pensato:
Dire che esiste una applicazione iniettiva da $X$ a $Y$ significa che ad ogni elemento di $X$ corrisponde uno ed un solo elemento di $Y$. A questo punto, se so a priori che i due insiemi contengono elementi dello stesso tipo, per esempio pecore, è immediato dire che è necessariamente $X sube Y$, e quindi che $card(X)<=card(Y)$ vero?
Per esempio, se avessi saputo che $X={a,b,c,d,e,f}$ ed $Y={a,b,c,d,e,f,g,h,i,l}$, allora avrei potuto dire con certezza che $X sube Y$ e dunque che $card(X)<=card(Y)$ giusto?
Sto studiando delle cose sugli insiemi infiniti e leggo questo:
"Siano $X$, $Y$ insiemi (eventualmente infiniti). Se esiste una applicazione iniettiva da $X$ a $Y$, allora diremo che $card(X)<=card(Y)$. Il libro la presenta quasi come una definizione, però penso sia un piccolo teorema o sbaglio?
Volendo dimostrare una tale frase, ho pensato:
Dire che esiste una applicazione iniettiva da $X$ a $Y$ significa che ad ogni elemento di $X$ corrisponde uno ed un solo elemento di $Y$. A questo punto, se so a priori che i due insiemi contengono elementi dello stesso tipo, per esempio pecore, è immediato dire che è necessariamente $X sube Y$, e quindi che $card(X)<=card(Y)$ vero?
Per esempio, se avessi saputo che $X={a,b,c,d,e,f}$ ed $Y={a,b,c,d,e,f,g,h,i,l}$, allora avrei potuto dire con certezza che $X sube Y$ e dunque che $card(X)<=card(Y)$ giusto?
Risposte
Tuttavia, potendo essere gli elementi dei due insiemi assolutamente arbitrari (carote e cipolle per esempio), non posso ragionare in quel modo. Allora provo a dimostrarlo così.
Per ipotesi possiamo dire che esiste una funzione che associa ad ogni elemento di $X$ uno ed un solo elemento di $Y$.
Consideriamo inoltre le classi degli insiemi equipotenti ad $X$ e ad $Y$, cioè consideriamo $card(X)$ e $card(Y)$ (per definizione di cardinalità); a questo punto osservo che $card(X)$ e $card(Y)$ dovranno rispettivamente possedere come elemento un certo insieme $A$ ed un certo insieme $B$ (mi sto riferendo a quell'insieme che viene costruito iterativamente nel seguente modo: $O/->{O/}->{O/,{O/}}...$).
Ora, siccome per come sono definiti tali due insiemi, deve essere $A sube B$, si ha che $card(A)<=card(B)$;
ma, dal momento che $X$ ed $Y$ appartengono rispettivamente alle classi di equipotenza su definite, si conclude per forza che $card(X)<=card(Y)$.
Per ipotesi possiamo dire che esiste una funzione che associa ad ogni elemento di $X$ uno ed un solo elemento di $Y$.
Consideriamo inoltre le classi degli insiemi equipotenti ad $X$ e ad $Y$, cioè consideriamo $card(X)$ e $card(Y)$ (per definizione di cardinalità); a questo punto osservo che $card(X)$ e $card(Y)$ dovranno rispettivamente possedere come elemento un certo insieme $A$ ed un certo insieme $B$ (mi sto riferendo a quell'insieme che viene costruito iterativamente nel seguente modo: $O/->{O/}->{O/,{O/}}...$).
Ora, siccome per come sono definiti tali due insiemi, deve essere $A sube B$, si ha che $card(A)<=card(B)$;
ma, dal momento che $X$ ed $Y$ appartengono rispettivamente alle classi di equipotenza su definite, si conclude per forza che $card(X)<=card(Y)$.
"lisdap":
Salve.
Sto studiando delle cose sugli insiemi infiniti e leggo questo:
"Siano $X$, $Y$ insiemi (eventualmente infiniti). Se esiste una applicazione iniettiva da $X$ a $Y$, allora diremo che $card(X)<=card(Y)$. Il libro la presenta quasi come una definizione, però penso sia un piccolo teorema o sbaglio?
Di norma si prende come definizione (e direi che il tuo libro segue la norma: quando trovi scritto "diremo che..." significa "diremo, per definizione, che...").
"Rigel":
[quote="lisdap"]Salve.
Sto studiando delle cose sugli insiemi infiniti e leggo questo:
"Siano $X$, $Y$ insiemi (eventualmente infiniti). Se esiste una applicazione iniettiva da $X$ a $Y$, allora diremo che $card(X)<=card(Y)$. Il libro la presenta quasi come una definizione, però penso sia un piccolo teorema o sbaglio?
Di norma si prende come definizione (e direi che il tuo libro segue la norma: quando trovi scritto "diremo che..." significa "diremo, per definizione, che...").[/quote]
Non mi pare comunque una definizione, mi sembra un vero e proprio teorema o sbaglio? Cioè, non è una definizione data "a cavolo", bensì è una definizione che deriva da dei ragionamenti o no?
Forse in matematica esistono vari tipi di definizione...
Ciao Lisdap!
A quanto pare nemmeno il giorno di riposo ti può distrarre dal tuo intento di rendere solidissime le fondamenta che stai rafforzando:
continua a procedere con equilibrio in questo lavoro,
che di solito attraversa l'intera la vita intellettuale..
Entrando nel merito ti voglio chiedere una cosa:
secondo te ogni buona definizione non è "costretta",ai fini degli argomenti in cui la si vuol fare evolvere,
ad essere formalmente coerente a questi ultimi,esaustiva,ben posta e di massima sintesi possibile ?
La mia opinione è che gli autori hanno ritenuto,probabilmente a ragione,
che trasformare in definizione il tuo ragionamento fosse la via più breve ai fini della sviluppo della teoria su essa fondata,
ed ineccepibile in tutte quelle richieste che si fanno implicitamente ad una definizione:
saluti dal web.
A quanto pare nemmeno il giorno di riposo ti può distrarre dal tuo intento di rendere solidissime le fondamenta che stai rafforzando:
continua a procedere con equilibrio in questo lavoro,
che di solito attraversa l'intera la vita intellettuale..
Entrando nel merito ti voglio chiedere una cosa:
secondo te ogni buona definizione non è "costretta",ai fini degli argomenti in cui la si vuol fare evolvere,
ad essere formalmente coerente a questi ultimi,esaustiva,ben posta e di massima sintesi possibile ?
La mia opinione è che gli autori hanno ritenuto,probabilmente a ragione,
che trasformare in definizione il tuo ragionamento fosse la via più breve ai fini della sviluppo della teoria su essa fondata,
ed ineccepibile in tutte quelle richieste che si fanno implicitamente ad una definizione:
saluti dal web.
A parte quello che ti è stato già detto, fai attenzione che:
è sbagliato.
"lisdap":
Dire che esiste una applicazione iniettiva da $X$ a $Y$ significa che ad ogni elemento di $X$ corrisponde uno ed un solo elemento di $Y$.
è sbagliato.
"theras":
Ciao Lisdap!
A quanto pare nemmeno il giorno di riposo ti può distrarre dal tuo intento di rendere solidissime le fondamenta che stai rafforzando:
continua a procedere con equilibrio in questo lavoro,
che di solito attraversa l'intera la vita intellettuale..
Entrando nel merito ti voglio chiedere una cosa:
secondo te ogni buona definizione non è "costretta",ai fini degli argomenti in cui la si vuol fare evolvere,
ad essere formalmente coerente a questi ultimi,esaustiva,ben posta e di massima sintesi possibile ?
La mia opinione è che gli autori hanno ritenuto,probabilmente a ragione,
che trasformare in definizione il tuo ragionamento fosse la via più breve ai fini della sviluppo della teoria su essa fondata,
ed ineccepibile in tutte quelle richieste che si fanno implicitamente ad una definizione:
saluti dal web.
Ciao, probabilmente ho io un idea sbagliata del concetto di definizione. Ho sempre pensato che una definizione in senso matematico fosse una cosa presa per vera e basta. Quindi, theras, mi stai dicendo che posso giustificare quella definizione nel modo in cui ho spiegato? Grazie
Credo che il tutto derivi dal metodo assiomatico usato nella matematica, ma non vorrei dire una fesseria...
"lisdap":E' una definizione.
"Siano $X$, $Y$ insiemi (eventualmente infiniti). Se esiste una applicazione iniettiva da $X$ a $Y$, allora diremo che $card(X)<=card(Y)$. Il libro la presenta quasi come una definizione, però penso sia un piccolo teorema o sbaglio?
Forse cosa non ti è chiaro è cosa definisce.
Definisce il [tex]\leq[/tex] nella famiglia delle cardinalità.
Se vuoi lo puoi scrivere così:
Sia [tex]C[/tex] l'insieme delle cardinalità. Introduciamo la relazione [tex]\leq[/tex] su [tex]C[/tex] come segue: se [tex]X,Y[/tex] sono due insiemi, [tex]|X| \leq |Y|[/tex] per definizione significa che esiste una funzione iniettiva [tex]X \to Y[/tex].
Questa [tex]\leq[/tex] è una relazione d'ordine, ma questo è difficile da dimostrare per via dell'antisimmetria (riflessività e transitività sono facili), che è il teorema di Cantor-Schroeder-Bernstein (vedi qui). Per inciso, la totalità di questo ordine è equivalente all'assioma della scelta (cf. qui, tricotomia).
PS. Eventualmente si può sottilizzare sul fatto se quel [tex]C[/tex] sia o meno un "insieme", ma come ripeto questa è (almeno per me) una sottigliezza.
"lisdap":
Ciao, probabilmente ho io un idea sbagliata del concetto di definizione. Ho sempre pensato che una definizione in senso matematico fosse una cosa presa per vera e basta. Quindi, theras, mi stai dicendo che posso giustificare quella definizione nel modo in cui ho spiegato? Grazie
Se vuoi si,
ma " solo" con te stesso e sapendo che,per trovare il giusto equilibrio tra intuizione e formalismo,
l'hai fatto in modo un pò sommario;
il modo formalmente corretto è quello di Martino,
che è un algebrista fine
(OT
mi son spesso chiesto perchè si predilige usare quest'aggettivo per tale "categoria" di matematici mentre è profondo quello più in voga per gli analisti,
dato che finezza e profondità dovrebbero essere aspetti della stessa medaglia/OT):
ed un motivo ci sarà se quella magnifica creazione che è l'Algebra moderna
(che generalmente abbraccia nei primi corsi Teoria degli Insiemi,dei Gruppi e degli Anelli)
non è solitamente una priorità didattica nei corsi d'Ingegneria..
Ancora mi ricordo nei primi anni alcuni allievi un pò più grandi di noi "pivelli",
che facevano spesso osservazioni interessanti,
e generalmente erano ingegneri che andavano per la seconda laurea;
ho la sensazione che tra qualche tempo ce ne sarà un altro:
oppure,se proprio non puoi farne a meno,l'anno prossimo compra il corso singolo di Algebra a Matematica,
che sicuramente ce ne son di bravi ad insegnarla dalle tue parti..
Quanto secondo me conta,piuttosto,
è che tu riesca ad accettare come,ogni qual volta si voglia ricostruire formalmente una qualunque teoria,
la si può spezzettare e monadizzare quanto si vuole ma alla fine si arriva sempre a concetti "autodefinitori"
(i famosi concetti primitivi..),
sui quali via via costruire gli altri tramite definizioni e verifiche fondate sugli assiomi scelti per quella teoria:
e generalmente i percorsi di formalizzazione scelti nei testi universitari si rivelano i più veloci,esaustivi e corretti.
tra i tanti equivalenti a priori possibili,
sopratutto ad una loro seconda rilettura seguita alle tante domande e curiosità che fanno inevitabilmente nascere.
Non prenderlo come un invito a rileggere tutto il tuo testo ora:
per farlo hai a disposizione tanto tempo,energia e curiosità..
Saluti dal web.
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