Domande sistema parametrico

[fabioz96]

Salve, devo risolvere questo sistema parametrico e ho qualche problema nel dare le risposte definitive.
La traccia:
$\{(x -2y+kz=k),
(-2x+(k+2)y-2kz=-2k-2),
(2x-4y+3kz=3k)
:}$

Le domande sono:
1)Per quali valori del parametro k il sistema ammette soluzione
2)Per quali valori del parametro k il sistema possiede più di una soluzione
3)Le soluzioni del sistema quando sono più di una
4)La soluzione del sistema quando è unica

Ho quindi la matrice A dei coefficenti:
$|(1,-2,k),(-2,(k+2),-2k),(2,-4,3k)|$

Ho trovato il determinante di A che è uguale a $k*(k-2)$
Ho quindi studiato il sistema quando $k!=0$ e quando $k!=2$ e ho applicato il metodo di Cramer dove ho sostituito via via ogni colonna con il termine noto, vi ho calcolato il determinante e l'ho diviso per il determinante di A ($k*(k-2)$).

Il risultato è:
$x = -4/(k-2)$

$y = -2/(k-2)$

$z=1$
La soluzione trovata è unica o varia al variare di k?

Poi ho studiato il sistema quando $k=0$ sostituendo k con 0 e usando Gauss.
Risultato:
$x = 2$
$y = 1$
$z=t$
Qui esistono infinite soluzioni al variare di t giusto?

Analogamente con $k=2$ ho l'ultima riga della matrice completamente nulla mentre il termine noto ha un valore; deduco quindi che in questo caso non esistono soluzioni

Potete delucidarmi su ciò che ho trovato (il prof ci ha fatto vedere l'esempio, ma ha spiegato ben poco) e su come gestire i risultati?
Il procedimento è giusto?
Come rispondo alle domande della traccia?

[billyballo2123]

"fabioz96":
Il risultato è:
$x = -4/(k-2)$

$y = -2/(k-2)$

$z=1$
La soluzione trovata è unica o varia al variare di k?

La soluzione trovata è unica fissato $k\in\mathbb{R}\setminus \{0,2\}$.

"fabioz96":
Poi ho studiato il sistema quando $k=0$ sostituendo k con 0 e usando Gauss.
Risultato:
$x = 2$
$y = 1$
$z=t$
Qui esistono infinite soluzioni al variare di t giusto?

Sì, le soluzioni sono la retta
\[
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2 \\
1 \\
0
\end{bmatrix}
+t
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{bmatrix}
\]

"fabioz96":
Analogamente con $k=2$ ho l'ultima riga della matrice completamente nulla mentre il termine noto ha un valore; deduco quindi che in questo caso non esistono soluzioni

Ok (in realtà è la seconda riga che si annulla nella riduzione a scala).

"fabioz96":
Potete delucidarmi su ciò che ho trovato (il prof ci ha fatto vedere l'esempio, ma ha spiegato ben poco) e su come gestire i risultati?
Il procedimento è giusto?
Come rispondo alle domande della traccia?

"fabioz96":
1)Per quali valori del parametro k il sistema ammette soluzione
2)Per quali valori del parametro k il sistema possiede più di una soluzione
3)Le soluzioni del sistema quando sono più di una
4)La soluzione del sistema quando è unica

1) Il sistema ammette soluzione per ogni $k\ne 2$.
2) Il sistema ammette più di una soluzione per $k=0$.
3) ($k=0$)
\[
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2 \\
1 \\
0
\end{bmatrix}
+t
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{bmatrix}
\]
4) ($k\ne 0,2$)
\[
x=-\frac{4}{k-2},\qquad y=-\frac{2}{k-2}, \qquad z=1.
\]

[fabioz96]

Grazie davvero tanto della risposta cosi esaustiva.
Se avete 5 minuti di tempo avrei un altro dubbio: viewtopic.php?f=26&t=157715
Grazie