Domande di algebra [gruppi, monoidi, ...]+geometria
Dopo aver riascoltato le lezioni del mio professore ci sono alcuni dubbi che sono sorti. Li elenco:
1. Il 2 in N non ha simmetrico. E' un monoide associativo.
dice così perchè partendo dalla definizione di monoide [che ha solo la proprietà di elemento neutro ma non di simmetrico] perchè dice che è associativo? N non è gruppo ma solo monoide associativo, giusto?
2. esempio di altre strutture algebriche, non è vero sempre la legge di annullamento del prodotto cioè che:
$a x b = 0$ con a, b diversi da 0 , cioè che la legge dell'annullamento del prodotto non è sempre 0.
quali sarebbero queste altre strutture algebriche? gli anelli? se si, mi faccio la domanda 'esistono anelli in cui non è valida la legge di annullamento del prodotto'??
3. domanda di geometria: ''due rette distinte in un piano, hanno al più un punto in comune'' non possono essere rette perchè non soddisfano gli assiomi della geomtria euclidea.
allora perchè le chiama rette?
in un'altra geometria possono essere chiamate rette? se sì qual è? *_* *_*
grazie
1. Il 2 in N non ha simmetrico. E' un monoide associativo.
dice così perchè partendo dalla definizione di monoide [che ha solo la proprietà di elemento neutro ma non di simmetrico] perchè dice che è associativo? N non è gruppo ma solo monoide associativo, giusto?
2. esempio di altre strutture algebriche, non è vero sempre la legge di annullamento del prodotto cioè che:
$a x b = 0$ con a, b diversi da 0 , cioè che la legge dell'annullamento del prodotto non è sempre 0.
quali sarebbero queste altre strutture algebriche? gli anelli? se si, mi faccio la domanda 'esistono anelli in cui non è valida la legge di annullamento del prodotto'??
3. domanda di geometria: ''due rette distinte in un piano, hanno al più un punto in comune'' non possono essere rette perchè non soddisfano gli assiomi della geomtria euclidea.
allora perchè le chiama rette?
in un'altra geometria possono essere chiamate rette? se sì qual è? *_* *_*
grazie
Risposte
Ciao Ludwig,
allora, alle volte un primo utile approccio per avere chiarimenti di questo tipo può essere fare una ricerca su Wikipedia (spesso contiene più informazioni di quante tu possa desiderarne e approfondire la ricerca con le tue forze dimostra interesse e buona volontà).
Quanto alle domande che hai posto:
1. In \(\mathbb{N}\) 2 non ha opposto (penso sia quello che tu intendi per simmetrico) perché tale opposto sarebbe -2, che non appartiene a \(\mathbb{N}\). Il fatto che sia un monoide associativo non segue esattamente dal fatto che 2 non ha opposto, ma dal fatto che soddisfa le proprietà di monoide (tra l'altro l'associatività dell'operazione è richiesta tra le proprietà di monoide). (http://it.wikipedia.org/wiki/Monoide)
2. Un anello in cui vale la legge di annullamento del prodotto si chiama in matematica "dominio di integrità". Un anello in cui invece non vale la legge di annullamento del prodotto ammette quelli che si chiamano "divisori dello zero", cioè elementi distinti da zero, ma il cui prodotto dà zero (ossia, che dividono lo zero). Un esempio di tale struttura sono le classi resto modulo un intero non primo (non so se le hai viste): in \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\) \(\bar{2}\) e \(\bar{3}\) sono diversi da \(\bar{0}\), ma \(\bar{2}\cdot\bar{3}=\bar{6}=\bar{0}\). Prova a cercarli sul tuo libro di testo o anche solo su Wiki. (http://it.wikipedia.org/wiki/Annullamento_del_prodotto)
3. Quanto a questa domanda, potresti riformularla per favore, perché non ho ben capito cosa stai chiedendo..
allora, alle volte un primo utile approccio per avere chiarimenti di questo tipo può essere fare una ricerca su Wikipedia (spesso contiene più informazioni di quante tu possa desiderarne e approfondire la ricerca con le tue forze dimostra interesse e buona volontà).
Quanto alle domande che hai posto:
1. In \(\mathbb{N}\) 2 non ha opposto (penso sia quello che tu intendi per simmetrico) perché tale opposto sarebbe -2, che non appartiene a \(\mathbb{N}\). Il fatto che sia un monoide associativo non segue esattamente dal fatto che 2 non ha opposto, ma dal fatto che soddisfa le proprietà di monoide (tra l'altro l'associatività dell'operazione è richiesta tra le proprietà di monoide). (http://it.wikipedia.org/wiki/Monoide)
2. Un anello in cui vale la legge di annullamento del prodotto si chiama in matematica "dominio di integrità". Un anello in cui invece non vale la legge di annullamento del prodotto ammette quelli che si chiamano "divisori dello zero", cioè elementi distinti da zero, ma il cui prodotto dà zero (ossia, che dividono lo zero). Un esempio di tale struttura sono le classi resto modulo un intero non primo (non so se le hai viste): in \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\) \(\bar{2}\) e \(\bar{3}\) sono diversi da \(\bar{0}\), ma \(\bar{2}\cdot\bar{3}=\bar{6}=\bar{0}\). Prova a cercarli sul tuo libro di testo o anche solo su Wiki. (http://it.wikipedia.org/wiki/Annullamento_del_prodotto)
3. Quanto a questa domanda, potresti riformularla per favore, perché non ho ben capito cosa stai chiedendo..
Un ultima cosa. Quando posti delle domande cerca di attenerti ai consigli che sono dati qui: http://www.matematicamente.it/forum/su-come-postare-e-sperare-in-una-risposta-t42003.html
per il primo punto:
$NN$ è monoide associativo, e quindi si è fatto un esempio, è un semigruppo perchè ha solo la proprietà dell'esistenza dell'identità. E' associativo perchè presi 3 elementi di $NN$ si prova che spostando le parentesi, il risultato identità non varia.
tipo
$(1+2)+3=1+(2+3)$
2. il libro di testo del mio prof non riporta questi esempi, ma ai fini pratici vorrei capire di che si tratta, e dal momento che parto dall'algebra elementare, non riesco a 'vedere' che $2 x 3 = 0$
il profe fa una analogia con $3 x 7 = 21$ entrambi divisori di $21$ ma è come se mi mancasse qualche passaggio logico
3. argomento: enti a priori di qualunque geometria [ punto retta piano]
poi il prof afferma che: due rette distinte in un piano, hanno al più un punto in comune'' MA non possono essere rette perchè non soddisfano gli assiomi della geomtria euclidea.
Ma non riesco a capire bene perchè due rette qualunque prese nel piano, non possono essere rette. Forse perchè questo assioma non è tra i 5 formulati da Euclide?
Quindi queste 'rette' possono essere chiamate rette in quale geometria?
Inoltre altra osservazione che ho fatto è che non credo possa affermare che 'QUALUNQUE' geometria si formi su enti a priori come punto, retta, piano. Vi è anche la geometria che non si basa sul punto....
spero di aver chiarito meglio
$NN$ è monoide associativo, e quindi si è fatto un esempio, è un semigruppo perchè ha solo la proprietà dell'esistenza dell'identità. E' associativo perchè presi 3 elementi di $NN$ si prova che spostando le parentesi, il risultato identità non varia.
tipo
$(1+2)+3=1+(2+3)$
2. il libro di testo del mio prof non riporta questi esempi, ma ai fini pratici vorrei capire di che si tratta, e dal momento che parto dall'algebra elementare, non riesco a 'vedere' che $2 x 3 = 0$
il profe fa una analogia con $3 x 7 = 21$ entrambi divisori di $21$ ma è come se mi mancasse qualche passaggio logico
3. argomento: enti a priori di qualunque geometria [ punto retta piano]
poi il prof afferma che: due rette distinte in un piano, hanno al più un punto in comune'' MA non possono essere rette perchè non soddisfano gli assiomi della geomtria euclidea.
Ma non riesco a capire bene perchè due rette qualunque prese nel piano, non possono essere rette. Forse perchè questo assioma non è tra i 5 formulati da Euclide?
Quindi queste 'rette' possono essere chiamate rette in quale geometria?
Inoltre altra osservazione che ho fatto è che non credo possa affermare che 'QUALUNQUE' geometria si formi su enti a priori come punto, retta, piano. Vi è anche la geometria che non si basa sul punto....
spero di aver chiarito meglio
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