Domanda tabella logica semplice e insiemi
Ciao vorrei provare a chiedere un aiuto riguardo una dimostrazione che vorrei svolgere ossia dimostrare che
A\ø=A
Vorrei capire come svolgere la dimostrazione con una corretta tavola di verità che è quello che richiede l'esercizio
Inizialmente ho pensato di scrivere essendo la differenza A\B:={x|x∈A∧x∉B}
x∈A..........x∉ø.............x∈A∧x∉ø
V................V...................V
V................V...................V
F................V...................F
F................V...................F
E quindi dato che prima e ultima colonna coincidono dimostro che vi è congruenza logica tra x∈A e x∈A∧x∉ø.
Il perché della seconda colonna tutta vera è che è sempre vero che un elemento non sta nel vuoto, in quanto l'insieme vuoto non ha elementi.
Tuttavia mi sorge un grandissimo dubbio e qui vorrei porre la prima domanda: ma è corretto svolgere una tavola di verità con una colonna tutta vera? Sinceramente dubito. Confermatemi se è scorretto farlo perché non lo so davvero
Allora ho pensato di rivedere il problema come segue. Per definizione di uguaglianza tra insiemi A=B se per ogni x, x∈A\ø<=>x∈A.
Ho quindi scomposto nelle due implicazioni:
x∈A..........x∉ø.............x∈A∧x∉ø...........(x∈A∧x∉ø)=>x∈A
V................V...................V................................V
V................F...................F................................V
F................V...................F.................................V
F................F...................F.................................V
E su questa ci saremmo anche avendo una tautologia, tuttavia se svolgessi l'altra implicazione:
x∈A..........x∉ø.............x∈A∧x∉ø...........x∈A=>(x∈A∧x∉ø)
V................V...................V................................V
V................F...................F................................F
F................V...................F.................................V
F................F...................F.................................V
E la seconda riga segnala che c'è un problema poiché ho F e non v come vorrei per avere la tautologia e quindi la dimostrazione; a questo punto allora vorrei chiedere ma dove sbaglio? Non riesco proprio a farmi tornare le cose.
grazie a chiunque potrà aiutarmi.
A\ø=A
Vorrei capire come svolgere la dimostrazione con una corretta tavola di verità che è quello che richiede l'esercizio
Inizialmente ho pensato di scrivere essendo la differenza A\B:={x|x∈A∧x∉B}
x∈A..........x∉ø.............x∈A∧x∉ø
V................V...................V
V................V...................V
F................V...................F
F................V...................F
E quindi dato che prima e ultima colonna coincidono dimostro che vi è congruenza logica tra x∈A e x∈A∧x∉ø.
Il perché della seconda colonna tutta vera è che è sempre vero che un elemento non sta nel vuoto, in quanto l'insieme vuoto non ha elementi.
Tuttavia mi sorge un grandissimo dubbio e qui vorrei porre la prima domanda: ma è corretto svolgere una tavola di verità con una colonna tutta vera? Sinceramente dubito. Confermatemi se è scorretto farlo perché non lo so davvero
Allora ho pensato di rivedere il problema come segue. Per definizione di uguaglianza tra insiemi A=B se per ogni x, x∈A\ø<=>x∈A.
Ho quindi scomposto nelle due implicazioni:
x∈A..........x∉ø.............x∈A∧x∉ø...........(x∈A∧x∉ø)=>x∈A
V................V...................V................................V
V................F...................F................................V
F................V...................F.................................V
F................F...................F.................................V
E su questa ci saremmo anche avendo una tautologia, tuttavia se svolgessi l'altra implicazione:
x∈A..........x∉ø.............x∈A∧x∉ø...........x∈A=>(x∈A∧x∉ø)
V................V...................V................................V
V................F...................F................................F
F................V...................F.................................V
F................F...................F.................................V
E la seconda riga segnala che c'è un problema poiché ho F e non v come vorrei per avere la tautologia e quindi la dimostrazione; a questo punto allora vorrei chiedere ma dove sbaglio? Non riesco proprio a farmi tornare le cose.
grazie a chiunque potrà aiutarmi.
Risposte
L'insieme vuoto è una costante. Forse si potrebbe riscrivere la tavola con una proprietà caratteristica in funzione di $A$ se non vuoi che nella tavola ci sia un valore fisso di verità (ma non è scorretto, non saprei rispetto a cosa dovrebbe esser scorretto).
Il vuoto è uguale all'insieme ${x| x in A wedge not(x in A)}$ supponendo di trovarci in un ambiente non troppo vasto dove prendiamo questi $x$ (per non troppo vasto intendo un ambiente che sia ancora un insieme e non una collezione che genera contraddizioni),se usi questa proprietà caratteristica scomposta al posto dell'appartenenza al vuoto, puoi scrivere la tavola di verità dell'asserzione equivalente con variabile proposizionale $x in A$ facendo variare dal vero al falso solo $x in A$.
Ho solo interpretato quel che volevi fare, non so se può tornare utile.
$A = A - emptyset$
$x in A <=> x in (A- emptyset)$
$x in A <=> (x in A wedge not(x in emptyset))$
$x in A <=> (x in A wedge not(x in A wedge not(x in A)))$
Fai variare $x in A$ nella tavola in vero e falso e verrà fuori sempre vero. $not$ è la negazione e $wedge$ la congiunzione.
Il vuoto è uguale all'insieme ${x| x in A wedge not(x in A)}$ supponendo di trovarci in un ambiente non troppo vasto dove prendiamo questi $x$ (per non troppo vasto intendo un ambiente che sia ancora un insieme e non una collezione che genera contraddizioni),se usi questa proprietà caratteristica scomposta al posto dell'appartenenza al vuoto, puoi scrivere la tavola di verità dell'asserzione equivalente con variabile proposizionale $x in A$ facendo variare dal vero al falso solo $x in A$.
Ho solo interpretato quel che volevi fare, non so se può tornare utile.
$A = A - emptyset$
$x in A <=> x in (A- emptyset)$
$x in A <=> (x in A wedge not(x in emptyset))$
$x in A <=> (x in A wedge not(x in A wedge not(x in A)))$
Fai variare $x in A$ nella tavola in vero e falso e verrà fuori sempre vero. $not$ è la negazione e $wedge$ la congiunzione.
Ho compreso la tua risposta e in sostanza con la tua riscrittora ottieni proprio un "sempre vero" (passami il termine) come la colonna che cercavo nella prima tabella. Sei stato molto chiaro sul corretto procedimento.
Posso chiederti solo gentilmente alcune delucidazioni, inceve per poter capire gli ERRORI che ho fatto? p'erché vorrei anche capire dove sbaglio ora che ho capito come fare.
le domande sono:
1) La cosa che vorrei chiederti è se a conti fatti la mia prima tabella (quella con tutti veri per l'appartenenza al vuoto è una oscenità o è corretto. voglio dire in logica può succedere una cosa del genere o ho scritto una castroneria?
2) Perché invece lo studio della tabella di x∈A..........x∉ø.............x∈A∧x∉ø...........x∈A<=>(x∈A∧x∉ø) mi porta ad errore? Cioè ovviamente capisco sia sbagliata non dando ciò che vogliamo ma vorrei capire l'errore per non ripeterlo in futuro. Solo capendo il mio errore credo potrei non rifarlo.
Molte grazie
Posso chiederti solo gentilmente alcune delucidazioni, inceve per poter capire gli ERRORI che ho fatto? p'erché vorrei anche capire dove sbaglio ora che ho capito come fare.
le domande sono:
1) La cosa che vorrei chiederti è se a conti fatti la mia prima tabella (quella con tutti veri per l'appartenenza al vuoto è una oscenità o è corretto. voglio dire in logica può succedere una cosa del genere o ho scritto una castroneria?
2) Perché invece lo studio della tabella di x∈A..........x∉ø.............x∈A∧x∉ø...........x∈A<=>(x∈A∧x∉ø) mi porta ad errore? Cioè ovviamente capisco sia sbagliata non dando ciò che vogliamo ma vorrei capire l'errore per non ripeterlo in futuro. Solo capendo il mio errore credo potrei non rifarlo.
Molte grazie
Per dimostrare che \(A \setminus \varnothing = A\) basta osservare che \(\phi \land \top \equiv \phi\), dove \(\phi\) è una formula e \(\top\) indica il valore di verità "vero".
Nella tua prima tavola di verità ci sono due righe di troppo.
Nella seconda pure.
Nella terza anche.
La formula \(x \notin \varnothing\) è sempre vera, quindi non è in alcun caso falsa.
Nella tua prima tavola di verità ci sono due righe di troppo.
Nella seconda pure.
Nella terza anche.
La formula \(x \notin \varnothing\) è sempre vera, quindi non è in alcun caso falsa.
Per la prima hai ragione in effetti sono ridondanti.
""La formula x∉∅ è sempre vera, quindi non è in alcun caso falsa.""
però la domanda che mi ponevo era se era possibile assumere un asserto sempre vero a priori, non l'avevo mai visto fatto e questo mi stupiva un po'. Da questa tua affermazione mi pare di sì
""La formula x∉∅ è sempre vera, quindi non è in alcun caso falsa.""
però la domanda che mi ponevo era se era possibile assumere un asserto sempre vero a priori, non l'avevo mai visto fatto e questo mi stupiva un po'. Da questa tua affermazione mi pare di sì
Se la formula che compare tra le componenti della formula che intendi studiare con la tavola di verità è sempre vera (o falsa), allora essa sarà sempre vera (o falsa) anche nella tavola di verità, riducendo di conseguenza il numero delle righe della tavola stessa. Ovviamente non è che tu possa assumere a piacere se essa è sempre vera (o falsa), devi sapere se è sempre vera (o falsa).
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