Domanda sulle relazioni

[Lehor]

ciao a tutti, sono bloccato da un dubbio su un'esercizio, la traccia dice:

Nell'insieme $R^(2,2)$ delle matrici $2 xx 2$ è definita la seguente relazione

$M R N <=> EE k in Z^(text{*}) : M = kN$

Stabilire come è $R$

il mio dubbio riguarda $k$: devo prendere un solo $k$ per dimostrare le proprietà? oppure le proprietà devono essere verificate $AA k in Z^(text{*})$. Cioè, volendo dimostrare la proprietà riflessiva pongo $M = kM$ e questa è verificata solo per $k=1$. Dunque è riflessiva o no?

[Gi81]

Domanda: per ogni $M in ccM_{2\times 2}$ esiste $k$ intero non nullo tale che $M=kM$?

[Lehor]

la risposta è si: $k=1$. Dunque è necessaria verificarla solo una volta?

[Lehor]

grazie Gi8, quindi se voglio dimostrare la proprietà transitiva pongo:

$AA M,N,Q in RR^(2,2) => MRN (text{^}) NRQ => MRQ => M = kN (text{^}) N = kQ => M = kQ$

quindi prendo $k = 1, M=N$ e la proprietà risulta verificata?

[Gi81]

"Lehor":la risposta è si: $k=1$. Dunque è necessaria verificarla solo una volta?

Sì, ne basta uno

"Lehor":quindi prendo $k = 1, M=N$ e la proprietà risulta verificata?

Non puoi prendere $M=N$.
$M$ e $N$ sono generiche matrici $2times 2$

[Lehor]

"Gi8":Non puoi prendere $M=N$.
$M$ e $N$ sono generiche matrici $2times 2$

ok, quindi la proprietà risulta comunque verificata per $k = 1$

se infine volessi verificare la proprietà antisimmetrica:

$MRN , NRM => M = N => M = kN , N = kM => M = N$

questa è ancora verificata per $k = 1$, dunque la relazione è una relazione d'ordine?

[Gi81]

No, per la transitiva bisogna dimostrare questo: $AA M,N, Q in ccM_(2times 2)(RR)$, $M ccR N ^^ N ccR Q=> M ccR Q$

Hai dunque per ipotesi che

[*:2dhmh6sn]$EE k_1 in ZZ^(**)$ tale che $M= k_1 N$[/*:m:2dhmh6sn]
[*:2dhmh6sn]$EE k_2 in ZZ^(**)$ tale che $N= k_2 Q$ [/*:m:2dhmh6sn][/list:u:2dhmh6sn]

E devi dimostrare che $EE k_3 in ZZ^(**)$ tale che $M= k_3 Q$

[Lehor]

"Gi8":No, per la transitiva bisogna dimostrare questo: $AA M,N, Q in ccM_(2times 2)(RR)$, $M ccR N ^^ N ccR Q=> M ccR Q$

Hai dunque per ipotesi che

[*:22pmf6fz]$EE k_1 in ZZ^(**)$ tale che $M= k_1 N$[/*:m:22pmf6fz]
[*:22pmf6fz]$EE k_2 in ZZ^(**)$ tale che $N= k_2 Q$ [/*:m:22pmf6fz][/list:u:22pmf6fz]

E devi dimostrare che $EE k_3 in ZZ^(**)$ tale che $M= k_3 Q$

deve essere necessariamente $k_1 != k_2 != k_3$?

se no potrei prendere $k_1 = k_2 = k_3 = 1$ e allora la proprietà risulta verificata

se invece si deve risultare $k_3 = k_1 * k_2$ dunque se ad esempio $k_1 = 2 , k_2 = 3$ allora per essere verificata la relazione deve risultare $k_3 = 6$.

Quindi potrei dire che la proprietà transitiva è verificata?

[Gi81]

Non ci siamo capiti. $k_1$ e $k_2$ non li puoi decidere tu.

Tu devi solo decidere $k_3$.

Comunque, direi che hai detto giusto. Basta prendere $k_3 = k_1*k_2$
Infatti $M= k_1 N = k_1 (k_2 Q) = (k_1 k_2) Q$

[Lehor]

"Gi8":Non ci siamo capiti. $k_1$ e $k_2$ non li puoi decidere tu.

Tu devi solo decidere $k_3$.

Comunque, direi che hai detto giusto. Basta prendere $k_3 = k_1*k_2$
Infatti $M= k_1 N = k_1 (k_2 Q) = (k_1 k_2) Q$

si, li avevo presi giusto a titolo di esempio ^^

dunque se è verificata la transitività e la proprietà antisimmetrica esposta sopra, risulta essere una relazione d'ordine?

grazie mille per le tue risposte

[Gi81]

"Lehor":...si, li avevo presi giusto a titolo di esempio ...

Ok, ma se vuoi fare la dimostrazione della proprietà, mica devi fare degli esempi

"Lehor":dunque se è verificata la transitività e la proprietà antisimmetrica esposta sopra, risulta essere una relazione d'ordine?

Certo, ma l'antisimmetrica non l'hai mica dimostrata

[Lehor]

Ok, ma se vuoi fare la dimostrazione della proprietà, mica devi fare degli esempi

hai ragione scusa ^^

se infine volessi verificare la proprietà antisimmetrica:

$MRN , NRM => M = N => M = kN , N = kM => M = k^2M$

la proprietà è verificata poichè $EE k = 1$ per cui $M = M$. Spero di aver scritto bene stavolta.

[Gi81]

No, non va bene. Tra l'altro, sarebbe meglio se tu scrivessi con un po' più di precisione.