Domanda sui primi

[alvinlee881]

Ciao a tutti, volevo sapere se esiste un criterio che permetta di stabilire se il precedente di un primo nella sua fattorizzazione ha SOLO dei primi prefissati, non necessariamente liberi da quadrati, e non necessariamente ci devono essere tutti, l'importante è che non ce ne siano altri.
Ad esempio io fisso i primi 2,3,5 e voglio cercare i primi $p$ tali che $p-1$ si fattorizzi come $2^(a_1)*3^(a_2)*5^(a_3)$, con $a_i$ naturale (zero compreso). In questa situazione $41$ va bene, perchè $41-1=2^3*5$, ma $43$ no, perchè $43-1=2*3*7$. Esiste un tale criterio?
Grazie

[vict85]

"alvinlee88":Ciao a tutti, volevo sapere se esiste un criterio che permetta di stabilire se il precedente di un primo nella sua fattorizzazione ha SOLO dei primi prefissati, non necessariamente liberi da quadrati, e non necessariamente ci devono essere tutti, l'importante è che non ce ne siano altri.
Ad esempio io fisso i primi 2,3,5 e voglio cercare i primi $p$ tali che $p-1$ si fattorizzi come $2^(a_1)*3^(a_2)*5^(a_3)$, con $a_i$ naturale (zero compreso). In questa situazione $41$ va bene, perchè $41-1=2^3*5$, ma $43$ no, perchè $43-1=2*3*7$. Esiste un tale criterio?
Grazie

non mi viene in mente niente...

Non sono un esperto ma secondo può essere comodo considerare il primo come (per comodità metto il caso con tre primi): $q = (p_1p_2p_3)^n + (p_1p_2)^m + (p_1p_3)^r + (p_2p_3)^v + p_1^s + p_2^t + p_3^u + 1$
In realtà molto di quella espressione è uguale a zero quindi, ponendo la divisione in numeri primi di q-1 uguale a $p_1^(a_1)*p_2^(a_2)*p_3^(a_3)$ e $a_1 > a_2 > a_3$ l'espressione diventa $q = (p_1p_2p_3)^(a_3) + (p_1p_2)^(a_2 - a_3) + p_1^(a_1 - a_2) + 1$
Non so quando può essere utile...

Se il tuo obiettivo è trovarli con un computer puoi usare l'espressione nel senso che fai il modulo rispetto al maggiore $n in NN$ tale che $(p_1p_2p_3 ... p_s)^n < q-1$. Dopo di che scopri qual'è il primo o i primi tra quelli che stai analizzando che non divide più il numero e vai avanti così (trovi $m in NN$ t.c. $(p_1p_2p_3 ... p_t)^m < q-1$ e così via)... Se trovi un numero che non può essere congruente ad una possibile soluzione allora il numero non va bene.

[alvinlee881]

"vict85":[quote="alvinlee88"]Ciao a tutti, volevo sapere se esiste un criterio che permetta di stabilire se il precedente di un primo nella sua fattorizzazione ha SOLO dei primi prefissati, non necessariamente liberi da quadrati, e non necessariamente ci devono essere tutti, l'importante è che non ce ne siano altri.
Ad esempio io fisso i primi 2,3,5 e voglio cercare i primi $p$ tali che $p-1$ si fattorizzi come $2^(a_1)*3^(a_2)*5^(a_3)$, con $a_i$ naturale (zero compreso). In questa situazione $41$ va bene, perchè $41-1=2^3*5$, ma $43$ no, perchè $43-1=2*3*7$. Esiste un tale criterio?
Grazie

non mi viene in mente niente...

Non sono un esperto ma secondo può essere comodo considerare il primo come (per comodità metto il caso con tre primi): $q = (p_1p_2p_3)^n + (p_1p_2)^m + (p_1p_3)^r + (p_2p_3)^v + p_1^s + p_2^t + p_3^u + 1$
In realtà molto di quella espressione è uguale a zero quindi, ponendo la divisione in numeri primi di q-1 uguale a $p_1^(a_1)*p_2^(a_2)*p_3^(a_3)$ e $a_1 > a_2 > a_3$ l'espressione diventa $q = (p_1p_2p_3)^(a_3) + (p_1p_2)^(a_2 - a_3) + p_1^(a_1 - a_2) + 1$
Non so quando può essere utile...

Se il tuo obiettivo è trovarli con un computer puoi usare l'espressione nel senso che fai il modulo rispetto al maggiore $n in NN$ tale che $(p_1p_2p_3 ... p_s)^n < q-1$. Dopo di che scopri qual'è il primo o i primi tra quelli che stai analizzando che non divide più il numero e vai avanti così (trovi $m in NN$ t.c. $(p_1p_2p_3 ... p_t)^m < q-1$ e così via)... Se trovi un numero che non può essere congruente ad una possibile soluzione allora il numero non va bene.[/quote]
Confesso di non aver capito molto, e mi scuso inoltre per aver risposto così tardi. Comunque non il mio obiettivo non riguardava l'uso di un computer, ma a dirla tutta non ricordo più il perchè di questa domanda!