Domanda sui gruppi(centralizzante)

[sastra81]

Sia G un gruppo e H un suo sottogruppo
se indico con A un sottogruppo normale abeliano massimale di H perche il centralizzante di A in H è uguale ad A?
Ricordo che il centralizzante di A in H è l insieme di tutti gli elementi ''a'' che appartengono ad A tali che a*h=h*a
* equivale al simbolo di moltiplicazione lo specifico perche qualcuno in precedenza me lo ha chiesto!!
Ricordo che dire A massimae in H significa che A è un elemento massimale dell insieme dei sottogruppi propri di H
Grazie
sastra

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Ovviamente il teorema è falso se H è abeliano, dunque possiamo supporre che H non sia abeliano.

Sia allora Z il centro di H e C(A) il centralizzante di A. Poiché A è abeliano, C(A) contiene A. Essendo A massimale, abbiamo che C(A)=A o C(A)=H. Supponiamo per assurdo che C(A)=H. Allora Z contiene A. Consideriamo ora H/Z. H/Z non puo' avere sottogruppi propri K, altrimenti UK (unione su K) sarebbe un sottogruppo proprio di H contenente Z e dunque A. Dunque H/Z deve essere di ordine primo e dunque ciclico. Ma e' noto che se H/Z e' ciclico, allora H e' abeliano, il che e' assurdo per l'ipotesi fatta. Dunque C(A)=A.

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Ricordo che dire A massimae in H significa che A è un elemento massimale dell insieme dei sottogruppi propri di H

Uhm... Immagino che invece in questo caso intendessi che A è massimale fra i sottogruppi normali propri di H... in questo caso la dimostrazione che ho scritto non va...

[sastra81]

esatto federico io intendo che A èmassimale tra sottogruppi normali propri di H...
AIUTOOOOOOOOOOOO
cmq grazie sempre per il tuo aiuto

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In tal caso dubito che l'enunciato sia vero, sotto queste ipotesi... Infatti se fosse vero seguirebbe che il centro Z di un gruppo G non potrebbe essere mai essere normale massimale, in quanto il centralizzante di Z è ovviamente G. Ma credo che esistano gruppi in cui G/Z è semplice e in cui dunque Z è normale massimale e ovviamente abeliano.

[sastra81]

è interessante cmq quello che hai scritto fields volevo capire meglio perche H/Z deve essere di ordine primo
e poi se H/Z è ciclico questo implica che H è abeliano questo perche?
grazie
sastra

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Di fatto ho dimostrato il seguente teorema. Se H è un gruppo e A un suo sottogruppo massimale abeliano, allora il centralizzante di A è A.

H/Z deve essere di ordine primo perché non ha sottogruppi propri, dunque non può essere infinito e dunque per il teorema di Cauchy deve essere un p-gruppo. Ma per il primo teorema di Sylow un p-gruppo ha sempre sottogruppi propri a meno che non sia di ordine p.

Se inoltre H/Z è ciclico allora sia [g] il generatore di H/Z. Allora ogni classe di equivalenza di H/Z è della forma g^nZ, e dunque H=Z. Da cio' segue facilmente che H e' abeliano.