Domanda sui gruppi
Ciao a tutti, purtroppo sono alle prese con questo esercizio e non riesco a risolverlo. La traccia dice:
Nell'insieme $QQ$ è definita l'operazione $*$ ponendo $x * y = 2x + y$; definire di che tipo di gruppo si tratta.
Quando inizio a verificare la proprietà associativa mi blocco:
$AA x, y, z, in QQ$ deve risultare che:
$(x * y) * z = x * (y * z)$
quindi che
$(2x + y) + z = 2x + (y +z)$?
ho scritto bene questa proprietà? Mi basta anche solo un si o un no.
P.S.: l'operazione $*$ è quella con il cerchietto solo che non sono riuscito a trovare il simbolo.
Nell'insieme $QQ$ è definita l'operazione $*$ ponendo $x * y = 2x + y$; definire di che tipo di gruppo si tratta.
Quando inizio a verificare la proprietà associativa mi blocco:
$AA x, y, z, in QQ$ deve risultare che:
$(x * y) * z = x * (y * z)$
quindi che
$(2x + y) + z = 2x + (y +z)$?
ho scritto bene questa proprietà? Mi basta anche solo un si o un no.
P.S.: l'operazione $*$ è quella con il cerchietto solo che non sono riuscito a trovare il simbolo.
Risposte
Salve Lehor,
ammetto di non aver fatto esercizi di questo tipo, però vorrei provare...
Nel verificare l'associatività rispetto ad "$*$" devo vedere se è vero che $(x * y) *z=x * (y * z)$, quindi sapendo che presi due qualsiasi $t$ ed $r$ sò che $t * r = 2t + r$ avrò che $(2x +y)*z=x * (2y +z)$, siccome $(2x +y)$ e $(2y +z)$ sono elementi per cui è valido che $t * r = 2t + r$ allora da $(2x +y)*z=x * (2y +z)$ avrò $2(2x+y) + z=2x + (2y+z)$, svolgendo un pò i calcoli avrò $4x+2y+z=2x+2y+z$... che come vedasi, e spero di non sbagliare, è falso e quindi non verifica l'associatività.
Spero di aver azzeccato il ragionamente o metodo!
Cordiali saluti
"Lehor":
Ciao a tutti, purtroppo sono alle prese con questo esercizio e non riesco a risolverlo. La traccia dice:
Nell'insieme $QQ$ è definita l'operazione $*$ ponendo $x * y = 2x + y$; definire di che tipo di gruppo si tratta.
Quando inizio a verificare la proprietà associativa mi blocco:
$AA x, y, z, in QQ$ deve risultare che:
$(x * y) * z = x * (y * z)$
quindi che
$(2x + y) + z = 2x + (y +z)$?
ho scritto bene questa proprietà? Mi basta anche solo un si o un no.
P.S.: l'operazione $*$ è quella con il cerchietto solo che non sono riuscito a trovare il simbolo.
ammetto di non aver fatto esercizi di questo tipo, però vorrei provare...
Nel verificare l'associatività rispetto ad "$*$" devo vedere se è vero che $(x * y) *z=x * (y * z)$, quindi sapendo che presi due qualsiasi $t$ ed $r$ sò che $t * r = 2t + r$ avrò che $(2x +y)*z=x * (2y +z)$, siccome $(2x +y)$ e $(2y +z)$ sono elementi per cui è valido che $t * r = 2t + r$ allora da $(2x +y)*z=x * (2y +z)$ avrò $2(2x+y) + z=2x + (2y+z)$, svolgendo un pò i calcoli avrò $4x+2y+z=2x+2y+z$... che come vedasi, e spero di non sbagliare, è falso e quindi non verifica l'associatività.
Spero di aver azzeccato il ragionamente o metodo!
Cordiali saluti
"Lehor":
Ciao a tutti, purtroppo sono alle prese con questo esercizio e non riesco a risolverlo. La traccia dice:
Nell'insieme $QQ$ è definita l'operazione $*$ ponendo $x * y = 2x + y$; definire di che tipo di gruppo si tratta.
Quando inizio a verificare la proprietà associativa mi blocco:
$AA x, y, z, in QQ$ deve risultare che:
$(x * y) * z = x * (y * z)$
quindi che
$(2x + y) + z = 2x + (y +z)$?
ho scritto bene questa proprietà? Mi basta anche solo un si o un no.
P.S.: l'operazione $*$ è quella con il cerchietto solo che non sono riuscito a trovare il simbolo.
Dobbiamo verificare in sostanza che
1)$EE e in QQ t.c AA x in QQ : e*x=x*e=x$
2) $AA x EE x' in QQ t.c x*x'=x'x=e$
3) $*$ è associativa. cioè che $AA x, y ,z in QQ : x*(y*z)=(x*y)*z$
4) se $*$ è commutativa. cioè $AA x, y in QQ : x*y=y*x$.
Parto dalla 4)
Siano $x,y in QQ$
$x*y := 2x+y$ mentre $y*x= 2y+x$. $x*y!=y*x$ <-- in generale in $QQ$.
Quindi in generale se qualora $(QQ,*)$ fosse un gruppo, allora non sarebbe abeliano.
Verifico l'associatività:
Siano $x, y , z in QQ$
da $x*(y*z) = x*(2y+z) = 2x+2y+z$
mentre da $(x*y)*z = (2x+y)*z = 2(2x+y)+z = 4x+2y+z$ ma allora a me risulta che $x*(y*z) != (x*y)*z$ . Quindi $*$ non è associativa.
direi proprio che $(QQ,*)$ non è un gruppo con l'operazione sopra definita.
Aspetto smentite, se ve ne sono
EDIT : ho lo stesso risultato tuo, Garnak
Salve Kashaman,
corregimi se sbaglio, ma non bastava che non venisse verificate una delle 4 quantificazione (O meglio, visto che si parla di gruppo e non di gruppo abeliano una delle prime 3 quantificazioni) per dire che non è un gruppo?
Cordiali saluti
corregimi se sbaglio, ma non bastava che non venisse verificate una delle 4 quantificazione (O meglio, visto che si parla di gruppo e non di gruppo abeliano una delle prime 3 quantificazioni) per dire che non è un gruppo?
Cordiali saluti
Sono stato forviato un po dalla richiesta iniziale , cioè dire "che tipo di gruppo".
Essendo la commutatività più semplice da dimostrare hp iniziato da quella. Ma si, infondo era più comodo partire dalle prime tre. in particolare, dall'associatività, ho fatto un procedimento in più:D .
In particolare se una $ * : GxG -> G$ G insieme qualsiasi,non è associativa, la coppia $(G, *)$ non è neanche una
struttura algebrica. (correggetemi).
Invece se vale l'associatività , non è importante che valgano le altre due. Però se valgono $(G,*)$ si chiama gruppo.
Essendo la commutatività più semplice da dimostrare hp iniziato da quella. Ma si, infondo era più comodo partire dalle prime tre. in particolare, dall'associatività, ho fatto un procedimento in più:D .
In particolare se una $ * : GxG -> G$ G insieme qualsiasi,non è associativa, la coppia $(G, *)$ non è neanche una
struttura algebrica. (correggetemi).
Invece se vale l'associatività , non è importante che valgano le altre due. Però se valgono $(G,*)$ si chiama gruppo.
"Kashaman":
Sono stato forviato un po dalla richiesta iniziale , cioè dire "che tipo di gruppo".
Essendo la commutatività più semplice da dimostrare hp iniziato da quella. Ma si, infondo era più comodo partire dalle prime tre. in particolare, dall'associatività, ho fatto un procedimento in più:D .
In particolare se una $ * : GxG -> G$ G insieme qualsiasi,non è associativa, la coppia $(G, *)$ non è neanche una
struttura algebrica. (correggetemi).
Invece se vale l'associatività , non è importante che valgano le altre due. Però se valgono $(G,*)$ si chiama gruppo.
Una struttura algebrica definita da un insieme e da un'operazione binaria su esso, la cui unica proprietà è di essere associativa, viene definito semigruppo, se non sbaglio...
Salve GundamRX91,
non sbagli, vedi qui
Cordiali saluti
"GundamRX91":
Una struttura algebrica definita da un insieme e da un'operazione binaria su esso, la cui unica proprietà è di essere associativa, viene definito semigruppo, se non sbaglio...
non sbagli, vedi qui
Cordiali saluti
ho capito, grazie garnak e Kashaman, siete stati molto esaurienti! Non ho messo le risposte per non allungare troppo il post, ma in effetti tra le richieste dell'esercizio vi era quella di verificare se era un gruppo e se in tal caso fosse abeliano. Quindi ringrazio Kashaman per la spiegazione della proprietà commutativa.
Prego Lehor! A presto 
"GundamRX91":
[quote="Kashaman"]Sono stato forviato un po dalla richiesta iniziale , cioè dire "che tipo di gruppo".
Essendo la commutatività più semplice da dimostrare hp iniziato da quella. Ma si, infondo era più comodo partire dalle prime tre. in particolare, dall'associatività, ho fatto un procedimento in più:D .
In particolare se una $ * : GxG -> G$ G insieme qualsiasi,non è associativa, la coppia $(G, *)$ non è neanche una
struttura algebrica. (correggetemi).
Invece se vale l'associatività , non è importante che valgano le altre due. Però se valgono $(G,*)$ si chiama gruppo.
Una struttura algebrica definita da un insieme e da un'operazione binaria su esso, la cui unica proprietà è di essere associativa, viene definito semigruppo, se non sbaglio...[/quote]
Ah si. Beh nel particolare non ho studiato queste strutture.
Beh, riassumendo possiamo dire che se $*$ è solo associativa allora la struttura prende il nome di semigruppo.
se c'è anche un elemento neutro, di monoide, se ogni elemento ha un simmetrico, gruppo
Se per simmetrico intendo l'elemento opposto, allora si
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