Domanda sui gruppi

[francicko]

Siano $H$ e $K$ due qualsiasi sottogruppi di un gruppo finito $G$ , supponiamo che uno dei due sia normale in $G$ , allora
risulta $HK=KH$, e quindi l'insieme $HK$ é un sottogruppo, mi sbaglio o dico bene?
Qualcuno può darmi una risposta?
Resto in attesa, grazie!

[maurer]

Vale più in generale: sia [tex]G[/tex] un gruppo e siano [tex]H[/tex], [tex]K[/tex] due suoi sottogruppi. Se [tex]K \le N_G(H)[/tex] allora [tex]HK = KH[/tex] e [tex]HK \le G[/tex].
In particolare, se [tex]H[/tex] è normale allora [tex]N_G(H) = G[/tex] e otteniamo il tuo enunciato.

Per la dimostrazione, sia [tex]hk \in HK[/tex]; siccome [tex]k \in N_G(H)[/tex], allora [tex]kHk^{-1} = H[/tex] e pertanto [tex]hk = h' k \in KH[/tex], sicché [tex]HK \subset KH[/tex]. Analogamente, se [tex]kh \in KH[/tex] allora [tex]khk^{-1} k = h'' k \in HK[/tex] e quindi [tex]HK \subset KH[/tex]. Otteniamo allora [tex]HK = KH[/tex] da cui l'asserto.

Vedere che se [tex]HK = KH[/tex] allora tale insieme è un sottogruppo, poi, è banale.

[girdav]

Mi sembra che sia vero, il passaggio più difficile essendo "$HK=KH$ quindi $HK$ è un sottogruppo".

[maurer]

Vedo che abbiamo opinioni discordanti
A scanso di equivoci: è chiaro che [tex]HK \ne \emptyset[/tex]. Siano [tex]h_1 k_1, h_2 k_2 \in HK[/tex]. Allora [tex](h_1 k_1)(h_2k_2)^{-1} = h_1 k_1 k_2^{-1} h_2^{-1} = h_1 h_3 k_3 \in HK[/tex] e quindi è soddisfatto il criterio di sottogruppo.

[francicko]

Ringrazio per le risposte che sono state molto esaurienti!!

[Studente Anonimo]

Esaurienti

[francicko]

Ho provveduto alla correzione!