Domanda sui gruppi.

[francicko]

Un gruppo $G$ di ordine $2p$ con $p$ primo deve contenere almeno un sottogruppo di ordine $2$ ed almeno un sottogruppo di ordine $p$, per il teorema di cauchy, è giusto?

Se fosse così allora i casi che si possono presentare sono solamente i seguenti?

$1)$contiene esattamente due sottogruppi(o elementi) di ordine $p$ ed un sottogruppo(o elemento) di ordine $2$,

$2)$contiene esattamente un sottogruppo(o elemento) di ordine $p$ ed $p$ sottogruppi(o elementi) di ordine $2$,

$3)$contiene esattamente un sottogruppo(o elemento) di ordine $p$ ed uno di ordine $2$, in questo caso risulterebbe secondo me il gruppo ciclico di ordine $2p$, cioè il prodotto diretto dei due sottogruppi, in quanto risulterebbero necessariamente ambedue normali in quanto unici come ordine e con intersezione l'elemento neutro in quanto hanno ordini coprimi.

Inoltre il caso 1) credo che si può scartare infatti siano $H$ e $K$ ed $a$ l'elemento di ordine $2$, tali sottogruppi, con $|H|=p$ , $|K|=p$ allora preso un elemento $hinH$con $h!=e$ e $kinK$ con $k!=e$ si avrà necessariamente $hk=a$ e preso un $h_1!=h$ si dovrebbe avere $h_1k=a$ impossibile perchè per la cancellazione dei gruppi risulterebbe $h=h_1$.

Non sono per niente sicuro di ciò che ho affermato per cui vorrei se possibile un parere sulla questione, grazie!

[mistake89]

"francicko":Sia $G$ gruppo ed $H$ un suo sottogruppo di indice $2$ , quindi avremo due laterali destri (o sinistri), che costituiscono una partizione di $G$. Essendo che un laterale é costituito dallo stesso sottogruppo $H$,l'altro laterale deve essere necessariamente
costituito dagli elementi che non appartengono ad $H$, questo è sufficiente per asserire che preso un qualsiasi elemento $tinG$ ma $t!inH$ risulta $Ht=tH$, pertanto $H$ è normale in $G$.
Per quanto riguarda l'unicità del gruppo $H$ di ordine $p$, sappiamo da Cauchy che esiste un elemento $t$ di ordine $2$, $t!inH$ perchè $|H|=p$,ma $H$ è normale allora $G$ risulta costituito da $G=uu(t,ta,ta^2,ta^3,.........ta^(p-1))$,$G=HuutH$, $G=HuuHt$, quindi un altro sottogruppo di ordine $p$, $K$$!=H$ dovrebbe essere costituito dagli elementi $ta,ta^2,ta^3....ta^(p-1)$ impossibile perchè preso due
qualsiasi elementi della forma $ta^i$, $ta^j$, si ha $ta^i$$ta^j$$inH$.
Concludendo $H$ è un sottogruppo normale ed unico in $G$.

In generale se hai un sottogruppo normale è unico nel suo ordine. Anzi è una condizione necessaria e sufficiente.
$H$ normale in $G$ se e solo se $H$ è unico
Per trovare una dimostrazione di questo fatto devi leggerti i teoremi di Sylow.

Quindi si possono verificare solamente due casi:
$1)$ che $G$ abbia due unici sottogruppi,uno di ordine $p$ e l'altro di ordine $2$, ed in questo caso avremo il gruppo ciclico di ordine $2p$ cioè $C_2p$.
$2)$ che ci sia un solo sottogruppo di ordine $p$ ed i restanti elementi siano tutti di ordine $2$, ed in questo caso avremo il sottogruppo diedrale $D_2p$.

E questo perchè? Mi pare che tu sia stato un po' troppo affrettato. Puoi spenderci qualche parola in più?
Il caso 1) è abbastanza esaustivo, ma se i $2$-sylow sono $p$ perché deve essere necessariamente il gruppo diedrale?

[francicko]

Nell'ultimo esposto che ho postato penso di avere dato una risposta .

[francicko]

"francicko":Essendo che il Gruppo risulta nel caso $2)$ costituito da $G=uu(t,ta, ta^2,...ta^(p-1))$, osservo che tale gruppo non sarà sicuramente abeliano, in quanto dovendo essere in generale $(ta^i)(ta^i)=e$,con $i$ intero, deve necessariamente sussistere la relazione $ta^i=a^(n-i)t$,
quest' ultima relazione inoltre comporta che presi due qualsiasi gruppi $G$ e $G_1$ siffatti, cioè $G_1=uu(t_1,t_1a_1,t_1a_1^2,.....t_1a_1^(p-1))$, questi risulteranno isomorfi secondo l'applicazione che porta:

l'elemento generico $a^i->(a_1)^i$ con $i$ intero, l'elemento $t->t_1$ ed il generico elemento della forma $ta^i->t_1(a_1)^i$ con $i$ intero;

Con questo ho mostrato che a meno si isomorfismi ci sono al massimo due possibili gruppi di ordine $2p$, con $p$ primo!
Resto in attesa di una risposta sulla veridicità o meno dell'esposto,grazie!

[mistake89]

Forse sono io che sono pedante, ma secondo me dovresti scrivere meglio qualche passaggio. Io ho capito che hai capito però secondo me certe cose dovresti giustificarle.

"francicko":Essendo che il Gruppo risulta nel caso $2)$ costituito da $G=uu(t,ta, ta^2,...ta^(p-1))$, osservo che tale gruppo non sarà sicuramente abeliano, in quanto dovendo essere in generale $(ta^i)(ta^i)=e$,con $i$ intero

Ad esempio perchè ciò è vero?

[francicko]

Dato che nel caso supposto gli elementi della forma $ta^i$ devono essere di ordine $2$, dovrà essere necessariamente
$ta^ita^i=e$ cioè $t(a^it)a^i=e$ ma affinchè questo succeda si dovrà avere $a^it=ta^(p-i)$, infatti sostituendo si ha $t(ta^(p-i))a^i$ $=$ $(t t)a^p=e$, ed essendo che in un gruppo ciclico di ordine primo ogni elemento ha inverso diverso da se stesso in quanto $p$ dispari, posso asserire che questo gruppo siffatto non può essere abeliano.($a^i!=a^(p-i)$, sempre se $i!=p$).

[mistake89]

Esatto (non avevo dubbi che sapevi il perchè di tutto). Bastava dire che nel quoziente gli elementi hanno tutti ordine $2$ e quindi $(ta^ì)^2=e$.

A me sembra tutto corretto.

[francicko]

xMistake89.
Prova a verificare se effettivamente l'applicazione che ho proposto é effettivamente un isomorfismo, in quanto io l'ho supposto ma ancora non del tutto verificato.

[francicko]

Aspettiamo comunque anche qualche altro parere, perchè non sono ancora del tutto convinto dell'esattezza dell'esposto!
Grazie!
Ho constatato adesso che nel libro sulla teoria dei gruppi dello "schaum" si verifica che effettivamente tale applicazione risulta essere un isomorfismo.
Resto in attesa comunque di un parere, grazie!