Domanda sui campi
Dato $p(X)=X^7+2$ a coefficienti nel campo $QQ$.
Considerato $K=(QQ[X])/((P(X)))$ come sottocampo di $CC$ si stabilisca se contiene il numero complesso $i$. Come si fa? Devo semplicemente sostituire in $p(X)$ e dimostrare che non lo contiene o è sbagliato come ragionamento?
Considerato $K=(QQ[X])/((P(X)))$ come sottocampo di $CC$ si stabilisca se contiene il numero complesso $i$. Come si fa? Devo semplicemente sostituire in $p(X)$ e dimostrare che non lo contiene o è sbagliato come ragionamento?
Risposte
Cioè, tu staresti dicendo che un numero [tex]\alpha \in \mathbb C[/tex] algebrico su [tex]\mathbb Q[/tex] appartiene a [tex]\mathbb Q[X]/(P(X))[/tex] se e solo se [tex]P(\alpha) = 0[/tex]?
Pensa a [tex]P(X) = X^2 - 2[/tex]. Chiaramente [tex]1 + \sqrt{2} \in \mathbb Q[\sqrt{2}] = \mathbb Q[X] / (P(X))[/tex], ma [tex]P(1 + \sqrt{2}) \ne 0[/tex]!
Qui potresti ragionare ad esempio sul grado dell'estensione di [tex]\mathbb Q[/tex] e sul grado di [tex]i[/tex] su [tex]\mathbb Q[/tex]...
Pensa a [tex]P(X) = X^2 - 2[/tex]. Chiaramente [tex]1 + \sqrt{2} \in \mathbb Q[\sqrt{2}] = \mathbb Q[X] / (P(X))[/tex], ma [tex]P(1 + \sqrt{2}) \ne 0[/tex]!
Qui potresti ragionare ad esempio sul grado dell'estensione di [tex]\mathbb Q[/tex] e sul grado di [tex]i[/tex] su [tex]\mathbb Q[/tex]...
giusto..ma non so assolutamente come si faccia a ragionare con le dimensioni..
Non so nemmeno se tu debba saperlo. A giudicare dalle domande che fai stai seguendo uno dei primi corsi di algebra. 1 o 2?
La teoria dei campi è stata affrontata in classe? E, soprattutto, sai cos'è uno spazio vettoriale?
La teoria dei campi è stata affrontata in classe? E, soprattutto, sai cos'è uno spazio vettoriale?
Si esatto sto facendo algebra 1... cmq la teoria dei gruppi si e anche uno spazio vettoriale...
Ok, allora la prima domanda a cui devi rispondere è: nel tuo caso qual è la dimensione come spazio vettoriale di [tex]\mathbb Q[X]/ (P(X))[/tex] su [tex]\mathbb Q[/tex]?
La dimensione è 7. Cioè il grado del polinomio
Ok, e il grado di [tex]i[/tex] su [tex]\mathbb Q[/tex]? Preciso che è il grado del suo polinomio minimo.
scusa ma non capisco cosa tu mi stia chiedendo...
Aspetta forse ho capito... $i$ è soluzione di $X^2+1=0$, quindi ha grado 2?
Sì, ma non mi sembri molto convinto. Comunque la risposta è sì perché il polinomio [tex]X^2 + 1[/tex] è irriducibile su [tex]\mathbb Q[/tex].
Adesso, domanda finale, se [tex]K \subset L \subset F[/tex] è una torre di estensioni finite di campi, che legame c'è tra [tex][F], [F], [L][/tex]?
Adesso, domanda finale, se [tex]K \subset L \subset F[/tex] è una torre di estensioni finite di campi, che legame c'è tra [tex][F], [F], [L][/tex]?
Quindi dovrei scrivere 7 come 2*x ma non esiste un x che soddisfi la relazione quindi i non appartiene...
Esattamente...
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