Domanda sui campi
Salve a tutti!
Vorrei sapere come mai $\mathbb{Z}_9$ non è un campo e $\mathbb{Z}_11$ si.
Cosa si intende per campo?
Grazie a tutti!
Vorrei sapere come mai $\mathbb{Z}_9$ non è un campo e $\mathbb{Z}_11$ si.
Cosa si intende per campo?
Grazie a tutti!
Risposte
Un campo è un anello in cui le due operazioni soddisfano a condizioni ulteriori: in particolare se diciamo che [tex](K,+,\cdot)[/tex] è un campo se [tex](K,+)[/tex] e [tex](K-\{0\},\cdot)[/tex] sono gruppi abeliani e se inoltre vale la distributività della somma rispetto al prodotto: [tex]a\cdot(b+c) = a \cdot b + a \cdot c[/tex].
Comunque puoi guardare qui.
Per quanto riguarda l'altra domanda, la risposta è semplice. E' triviale, infatti, verificare che un campo è un dominio di integrità (ossia, vale la legge di annullamento del prodotto). Ne segue che una condizione necessaria affinché un anello sia un campo è che sia un dominio integro. In [tex]\mathbb{Z}_9[/tex] questo non vale: ad esempio, [tex]\overline{3} \ne \overline{0}[/tex], ma [tex]\overline{3}\cdot \overline{3} = \overline{9} = \overline{0}[/tex] e quindi ci sono divisori dello zero.
Invece [tex]\mathbb{Z}_p[/tex] con [tex]p[/tex] numero primo è sempre un campo. Infatti, è un anello commutativo con unità e quindi l'unica cosa che bisogna verificare è che ogni elemento non nullo abbia inverso moltiplicativo. Ma se [tex]\overline{a} \in \mathbb{Z}_p[/tex] e [tex]\overline{a} \ne \overline{0}[/tex], allora [tex](a,p) = 1[/tex] e quindi per il teorema di Bezout esistono t,s tali che [tex]sa +tp = 1[/tex]. Passando alle classi di resto modulo [tex]p[/tex] si ottiene l'inverso di [tex]\overline{a}[/tex] e quindi la tesi.
Comunque puoi guardare qui.
Per quanto riguarda l'altra domanda, la risposta è semplice. E' triviale, infatti, verificare che un campo è un dominio di integrità (ossia, vale la legge di annullamento del prodotto). Ne segue che una condizione necessaria affinché un anello sia un campo è che sia un dominio integro. In [tex]\mathbb{Z}_9[/tex] questo non vale: ad esempio, [tex]\overline{3} \ne \overline{0}[/tex], ma [tex]\overline{3}\cdot \overline{3} = \overline{9} = \overline{0}[/tex] e quindi ci sono divisori dello zero.
Invece [tex]\mathbb{Z}_p[/tex] con [tex]p[/tex] numero primo è sempre un campo. Infatti, è un anello commutativo con unità e quindi l'unica cosa che bisogna verificare è che ogni elemento non nullo abbia inverso moltiplicativo. Ma se [tex]\overline{a} \in \mathbb{Z}_p[/tex] e [tex]\overline{a} \ne \overline{0}[/tex], allora [tex](a,p) = 1[/tex] e quindi per il teorema di Bezout esistono t,s tali che [tex]sa +tp = 1[/tex]. Passando alle classi di resto modulo [tex]p[/tex] si ottiene l'inverso di [tex]\overline{a}[/tex] e quindi la tesi.
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