Domanda su $P(S)$ con $-$ e $nn$
Poichè ho verificato cos'è un divisore dello zero.
Sia $A$ un anello e sia $a in A$ , $a$ si dice divisore dello zero se $a!=0$ ed $EEb in A$ tale che $a*b=0(ba=0)$
Ragazzi se in $P(S)$ , considero $O/ sub A sub S$
$A nn (S-A)=O/=0_(P(S))$
eppure $A != O/$ e $S-A!=O/$ Quindi significa che $(P(S), nn, -)$ non è integro, poichè ha divisori dello zero?
Sia $A$ un anello e sia $a in A$ , $a$ si dice divisore dello zero se $a!=0$ ed $EEb in A$ tale che $a*b=0(ba=0)$
Ragazzi se in $P(S)$ , considero $O/ sub A sub S$
$A nn (S-A)=O/=0_(P(S))$
eppure $A != O/$ e $S-A!=O/$ Quindi significa che $(P(S), nn, -)$ non è integro, poichè ha divisori dello zero?
Risposte
Se intendi che [tex]\cap[/tex] è il prodotto e [tex]-[/tex] (differenza insiemistica) è la somma allora [tex]P(S)[/tex] non è neanche un anello, dato che la differenza insiemistica non è un'operazione commutativa. Forse per [tex]-[/tex] intendi la differenza simmetrica? Di solito si indica con [tex]\Delta[/tex]. Se questo è il caso, allora sì, il tuo esempio mostra che se [tex]|S| \geq 2[/tex] allora [tex]P(S)[/tex] (dove [tex]\cdot[/tex] è [tex]\cap[/tex] e [tex]+[/tex] è [tex]\Delta[/tex]) non è integro.
Forse ti aiuta pensare a [tex]P(S)[/tex] come all'anello [tex](\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^S[/tex], dove nella rappresentazione di [tex]U \in P(S)[/tex] all'entrata [tex]s \in S[/tex] corrisponde 1 se e solo se [tex]s \in U[/tex]. Ti risulterà chiaro che con questa identificazione l'intersezione corrisponde al prodotto, il complementare corrisponde ad "aggiungere uno" e la differenza insiemistica [tex]U-V[/tex] corrisponde a [tex]U \cdot (V + 1)[/tex]. La somma invece corrisponde alla differenza simmetrica. Inoltre la non-integrità può essere considerata ovvia (un prodotto diretto di anelli non è mai integro).
Se può aiutare leggi qui (attento perché in questo link faccio la cosa inversa: 0 significa che l'elemento appartiene al sottoinsieme, 1 che non appartiene).
Forse ti aiuta pensare a [tex]P(S)[/tex] come all'anello [tex](\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^S[/tex], dove nella rappresentazione di [tex]U \in P(S)[/tex] all'entrata [tex]s \in S[/tex] corrisponde 1 se e solo se [tex]s \in U[/tex]. Ti risulterà chiaro che con questa identificazione l'intersezione corrisponde al prodotto, il complementare corrisponde ad "aggiungere uno" e la differenza insiemistica [tex]U-V[/tex] corrisponde a [tex]U \cdot (V + 1)[/tex]. La somma invece corrisponde alla differenza simmetrica. Inoltre la non-integrità può essere considerata ovvia (un prodotto diretto di anelli non è mai integro).
Se può aiutare leggi qui (attento perché in questo link faccio la cosa inversa: 0 significa che l'elemento appartiene al sottoinsieme, 1 che non appartiene).
In realtà la prof. mediante l'introduzione sui divisori dello zero ci ha fatto questo esempio:
se $|S| >= 2$ allora $A nn (S-A) = O/= 0_(P(S))$.
Riguardo a $(P(S), Δ, nn)$ sono d'accordo perchè se per esempio prendo ${1} nn {2} = O/$ eppure ho applicato l'operazione su due insiemi non vuoti.
Però ti ripeto volevo un chiarimento riguardo all'esempio di sopra.
Inoltre oltre a $(P(S), Δ, nn)$ ci sono altri anelli sempre usando $P(S)$
se $|S| >= 2$ allora $A nn (S-A) = O/= 0_(P(S))$.
Riguardo a $(P(S), Δ, nn)$ sono d'accordo perchè se per esempio prendo ${1} nn {2} = O/$ eppure ho applicato l'operazione su due insiemi non vuoti.
Però ti ripeto volevo un chiarimento riguardo all'esempio di sopra.
Inoltre oltre a $(P(S), Δ, nn)$ ci sono altri anelli sempre usando $P(S)$
E io ti ripeto che [tex](P(S),\cap,-)[/tex] non è un anello 
Inoltre oltre a $(P(S), Δ, nn)$ ci sono altri anelli sempre usando $P(S)$
Non capisco cosa vuoi dire. Certo, ogni insieme ha più di una struttura di anello, e quindi?
Non potresti scrivere chiaramente su cosa vuoi un chiarimento?
Non potresti scrivere chiaramente su cosa vuoi un chiarimento?
Martino la mia era una curiosità, volevo sapere se oltre a $(P(S), Δ,nn)$ ci sono altre strutture del tipo $(P(S), X, Y)$
dove $X$ e $Y$ sono altre due operazioni tali per cui la struttura algebrica risulta essere un anello. Tutto qua.
dove $X$ e $Y$ sono altre due operazioni tali per cui la struttura algebrica risulta essere un anello. Tutto qua.
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