Domanda su omomorfismo

[pamperzo]

AVrei una domanda davvero banale riguardo gli omomorfismi in tal caso di semigruppi $(Z,+)$ in $(Q,+)$

cioè dato f:Z->Q, a |-> a/2

Vorrei provare che 0 di Z va in 0 di Q (neutro in neutro)

e mi chiedo: avendo $a ->a/2$ ho $0 -> 0/2=0$

Ma corretttamente avrei: $0_Z->0_Q/2=0_Z$ oppure $0_Z->0_Z/2=0_Z$ cioè non capisco se "al numeratore" di a/2 la a sia intesa già in Q o ancora in Z.

E' una domanda stupida ma essendo all'inizio vorrei chiarire fin da subito le cose.
Ringrazio

[fulcanelli]

Come sono fatti gli elementi di $QQ$?

[pamperzo]

Q è l'insieme quoziente strutturato sulla relazione di equivalenza (a,b)∼(a′,b′) ⇐⇒ ab′=a′b in Z

Quindi la classe (a,b) notazionalmente diventa a/b.

- Essendo lo $0_Q=0_Z/1$ mi verrebbe da dire che $a->a/2$ si intende con a in Z (cioè il primo elemento della dupla).

- Purtuttavia in realtà nessuno mi vieta di pensare come $0->0_Z/1*1/2=0_Q*1/2=0_Q/2$ anche se ovviamente mi convince molto meno.

Penso che la corretta sia la prima

edit:typo

[G.D.5]

La risposta dipende da com'è fatto \(\mathbb{Q}\): se l'insieme dei numeri razionali è costruito come quoziente a partire da \(\mathbb{Z}\), allora \(\displaystyle \frac{a}{2}\) è solo un modo di indicare la coppia \((a,2)\), dove \(a \in \mathbb{Z}\).

[pamperzo]

Grazie per la risposta. Devo essermi spiegato male perché era quello che scrivevo sopra. In ogni caso ho capito. Mille grazie.