Domanda su numeri radicali.

[francicko]

É possibile che esista un numero radicale, quindi algebrico, che sia soluzione di un polinomio a coefficienti razionali $p(x) $, dove però alcune delle altre soluzioni non siano esprimibili per radicali, cioè non siano numeri radicali?

[hydro1]

Senza ipotesi sul polinomio, ovviamente sì.

[@melia]

Intendi qualcosa come $p^4-11p^2+18=0$, che diventa $(p^2-2)(p^2-9)=0$,
e ha soluzioni $p_(1,2)= +-sqrt(2)$ e $p_(3,4)= +-3$?

[gugo82]

Sì, solo che il secondo fattore non dovrebbe avere radici esprimibili elementarmente.

[Studente Anonimo]

"francicko":É possibile che esista un numero radicale, quindi algebrico, che sia soluzione di un polinomio a coefficienti razionali $p(x) $, dove però alcune delle altre soluzioni non siano esprimibili per radicali, cioè non siano numeri radicali?

Se non supponi che il polinomio sia irriducibile la domanda diventa vacua, come ti è stato detto puoi avere un fattore le cui radici non sono esprimibili e un altro fattore le cui radici sono esprimibili.

Se invece supponi che il polinomio sia irriducibile allora la risposta è no, in altre parole se una radice non è esprimibile per radicali allora nessun'altra lo è. È un esercizio di teoria di Galois. Devi usare il fatto che il gruppo di Galois di un polinomio irriducibile agisce transitivamente sulle sue radici.