Domanda su calcolo combinatorio

[Cioscos1]

Salve a tutti! avrei una domanda. Mi stavo esercitando con degli esercizi di calcolo combinatorio e mi sono imbattuto in questo problema.

In quanti modi diversi posso distribuire 20 palline uguali in 5 scatole diverse? E 5 palline uguali in
20 scatole diverse?

Ora il primo punto l'ho risolto abbastanza facilmente facendo $ (24!) / ((24 - 20)! * 20!) $

Ma il secondo punto per risolverlo dovrei invertire la n con il k, quindi dovrei fare 24 su 5. Ma non ho capito perché nel secondo caso il k dovrebbe essere 5 e non 20. Grazie in anticipo per la risposta.

[axpgn]

Vedila così ...

Metto le $20$ palline in una scatola stretta e lunga in modo che rimangano in fila e non alla rinfusa; prendo $4$ separatori ($5-1$) e li infilo a piacere tra una pallina e l'altra (o anche tutti in fondo); così facendo, di fatto, ho suddiviso le palline in $5$ scatole diverse.
Mi ritrovo quindi con $24=20+4$ oggetti, ordinati, di cui $4$ possono essere spostati a piacere nelle $24$ posizioni.
Quindi ho $((24),(4))$ modi diversi di suddividere le $20$ palline in $5$ scatole diverse (la stessa espressione che hai trovato tu).

Nel secondo caso hai $5$ palline e $19$ separatori quindi i modi saranno $((24),(19))$

Ok?

Cordialmente, Alex